Matematikai blog egy „kívülálló” tollából

Matematikai blog egy „kívülálló” tollából

Matematikai blog egy „kívülálló” tollából – Elindult a youproof.hu

Hogyan képesek megvédeni modern társadalmunkat a számok? Hogyan lehetséges az, hogy technikai civilizációnk léte vagy nem léte múlik olyan dolgokon, amelyek csak a képzeletünkben léteznek? Vajon a modern számelmélet mai, jelenleg még csak elméleti jelentőségű eredményei mit fognak jelenteni 200 év múlva, az akkori társadalom számára?

1 youproof logo

A nevem Moldvai Dávid. Egy vagyok azok közül, akik szerint a matematikusok világa meglehetősen elvont és furcsa. Azonban informatikusként nap mint nap − akár tudtomon kívül is − kapcsolatba kerülök mindazokkal a számelméleti vívmányokkal, amelyek akár csak 100 évvel ezelőttig sem számítottak egyébnek, mint érdekes, de viszonylag haszontalan logikai játékoknak. A helyzet azóta jelentősen megváltozott, és ezek az egykor haszontalan játékok egy csapásra a mindennapjaink részévé váltak az információelmélet és a kriptográfia tudományán keresztül. Már korai tanulmányaim alatt, de főként az egyetemen kezdett el érdekelni az ezek mögött lévő számelmélet és a hozzá szorosan kapcsolódó absztrakt algebra. Minthogy az informatika szakon ezeket a témaköröket csak alapszinten oktatják, ezért egy időre kénytelen voltam megelégedni ezekkel az alapszintű válaszokkal.

Időközben azonban kezembe került Simon Singh nagy sikerű könyve a nagy Fermat-sejtés megoldásának történetéről. Korábban is hallottam már erről a sejtésről, de ebben a könyvben olvastam először arról, hogy milyen drámai fordulatokat hozott az elmúlt 350 év matematikatörténetében. Igazán az nyűgözött le benne, hogy egy olyan állításról van szó, amelyet egy általános iskolás gyerek is megért. Nevezetesen: az xn + yn = zn egyenletnek nincs megoldása a pozitív egész számok körében, ha n > 2. Pierre de Fermat ezt az állítást Diophantosz Aritmetika című könyvének margójára írta fel a 17. században azzal a megjegyzéssel, hogy bizonyítani is tudja, ám az „sajnos nem fér el a margón”. A meglehetősen marginális kérdés − az előbbiek alapján szó szerinti értelemben is − megoldására tett kísérletek mégis óriási fejlődést hoztak a számelmélet központi jelentőségű kérdéseiben is.

A történet végül 1995-ben ért véget, amikor az Andrew Wiles (aki egyébként gyermekkorától megszállottja volt a problémának) által publikált elképesztően absztrakt bizonyításból kiderült, hogy a fenti egyszerű állítás egy sokkal nagyobb jelentőségű ténynek, nevezetesen a matematika két, addig egymástól teljesen függetlennek hitt területe közötti nagyon mély kapcsolatnak egy (egyébként teljesen mellékes) következménye. Ezt a rejtélyes kapcsolatot akkoriban a számelmélet egyik központi nyitott kérdése, a Taniyama−Shimura-sejtés fogalmazta meg. Manapság ez az állítás − köszönhetően nagyrészt Wiles úttörő munkájának − modularitási tétel néven ismeretes. Sajnos az említett könyvből ennél többet nem lehetett megtudni a részletekről, ezért végzett egyetemistaként naívan megkerestem a publikált bizonyítást az Interneten. Ám viszonylag hamar világossá vált számomra, hogy miért volt olyan szűkszavú az említett könyv a matematikai részletek tekintetében, ugyanis szinte minden egyes mondatban a megértéshez szükséges előismeretek végtelen tárháza bontakozik ki a matematika legkülönfélébb területeiről.

2 youproof article 1 link

Jónéhány évvel később olvastam Simon Singh egy másik könyvét, ami a Kódkönyv címet viseli, és a kriptográfia történetéről szól. Itt is sokkal inkább az olvasmányosságon, és így a tudományos és történelmi érdekességeken van a hangsúly, mintsem a modern rejtjelezési eljárások mögötti számelméleti részleteken. Általánosságban is megfigyelhető, hogy a tudományos − de legalábbis a matematikai − irodalomban alapvetően két véglet létezik. Az egyik végletet a valódi publikációk jelentik, amelyekből valódi válaszokat kaphatunk. Ezekkel az a probléma, hogy csak a „bennfentesek” számára érthetők. Azok számára, akik az adott tudományterületet napi szinten művelik. Az előképzettség nélküli, de érdeklődő „kívülálló” joggal érezheti magát kirekesztettnek, amikor egy ilyet megkísérel befogadni. A másik végletet pedig azok a művek jelentik, amelyek az említett „kívülállók” számára olvasmányosan mesélnek az adott témakörről, ám a valódi válaszokat elfedik, mondván: azt úgysem lehet megérteni előképzettség nélkül.

3 youproof article 9 link

Mivel az egyetemen a kriptográfia volt az egyik kedvenc témám, ezért feltettem magamnak a kérdést: Miért ne lehetne akár valódi válaszokról is olvasmányosan írni ebben a témakörben? Ekkor merült fel egy könyv írásának ötlete, amelyben az Olvasó és szerző egymással karöltve, mindketten „kívülállóként”, azaz mindenféle előképzettség feltételezése nélkül kezdi meg a téma megismerését a nulláról indulva, hogy aztán a könyv végére megkapja a valódi válaszokat. Egy ilyen írás akkor érheti el a célját, ha ügyesen lavírozik az olvasmányosság és a matematikai részletek között. Végül azonban úgy döntöttem, hogy első körben könyv helyett egy blogot indítok.

A blog főoldala itt található: https://youproof.hu

4 youproof article 14 link

E döntésnek alapvetően két oka volt. Egyrészt szerettem volna egyfajta visszajelzést kapni arról, hogy egy ilyen jellegű − véleményem szerint hiánypótló − írással mekkora célközönségre számíthatok. Másrészt, ahogy magam is fokozatosan elmélyültem a témában, egyre több kapcsolódási pontot véltem felfedezni a Fermat-sejtéssel kapcsolatos témakörökhöz. Úgy gondoltam, hogy az ezek megismerése során kialakuló gondolataim talán kellő nyersanyagot szolgáltathatnak újabb érdekes cikksorozatok megírásához, amelyek így már nem férnének bele egyetlen könyv keretei közé. Elképzelésem szerint az Olvasó és a szerző kéz a kézben haladna előre ebben az útvesztőben, miközben semmi másra nem támaszkodhatnak, kizárólag a logika végtelenül egyszerű, de roppant szigorú szabályaira, hiszen ugye mindketten „kívülállók”.

A kriptográfiáról szóló első cikksorozat is elsősorban ebben a szellemben készül, amelynek eddig megjelent részei itt érhetők el: https://youproof.hu/kriptografia

5 youproof article 17 link

Ez a sorozat alapvetően 3 nagyobb részre osztható. Az első 10 rész a kriptográfia gyakorlati – és minimálisan a történelmi – vonatkozásait járja körbe némi információ- és algoritmuselméleti, nem túl mély kitérőkkel és érdekességekkel. Ezután a 11. résztől kezdve szisztematikusan bevezeti az Olvasót a matematika alapvető működési mechanizmusába azáltal, hogy a legalapvetőbb számelméleti fogalmakat egészen a Peano-axiómarendszerből kiindulva építi fel, melynek során megismerjük a gyűrűkkel kapcsolatos alapfogalmakat is. Végül a 16. résztől kezdve a nyilvános kulcsú titkosítási eljárásokhoz szükséges számelméleti összefüggések részletes ismertetése következik az RSA-algoritmusig és különböző prímtesztelési eljárásokig bezárólag. Ennek során a kapcsolódó absztrakt algebrai vonatkozások is részletesen előtérbe kerülnek. A teljesség igénye nélkül: oszthatóság gyűrűkben, egység, asszociált, felbonthatatlan és prímtulajdonságú elemek, a számelmélet alaptétele gyűrűkben, kitüntetett közös osztó, maradékos osztás, euklidészi gyűrűk, gyűrűhomomorfizmusok, maradékosztálygyűrűk, ideálok és ideál szerinti kongruenciák, főideálgyűrűk, stb. Ezekkel ugyanis már a következő cikksorozatokat szeretném megalapozni.

6 youproof article 18 link

A tervezett folytatás

Körvonalazódik egy második sorozat, amely már a Fermat-sejtés elleni szélmalomharc egyik fordulópontjáról szól. Történt ugyanis, hogy a Francia Akadémia 1847. március 1-jén tartott ülésén Gabriel Lamé tartott egy előadást, melynek során bejelentette, hogy bizonyítani tudja a sejtést. Ígéretet tett, hogy a bizonyítást heteken belül publikálja. Alighogy Lamé elhagyta a pódiumot, a kor másik kiemelkedő matematikusa, Augustin Cauchy jelentkezett szólásra. Bejelentette, hogy ő is rendelkezik egy teljes bizonyítással, így világossá vált, hogy a két matematikus között kiélezett a verseny a legrangosabb elismerésért − és persze a vele járó tekintélyes összegért − folytatott harcban.

Miközben folyt a találgatás, hogy kié lesz végül a dicsőség, május 24-én drámai fordulat következett be, amikor Joseph Liouville ismertette az akadémián egy német matematikus, egy bizonyos Ernst Kummer levelét. Ebben a levélben az állt, hogy a Cauchy és Lamé által nyilvánosságra hozott információk alapján úgy tűnik, mindketten beleestek ugyanabba a logikai hibába, és így egyikük bizonyítása sem lehet helyes. Ugye már az általános iskolában is megtanultuk a számelmélet alaptételét, miszerint minden egész szám (a tényezők sorrendjétől eltekintve) egyértelműen írható fel prímszámok szorzataként. Például a 12 prímtényezős felbontása 2∙2∙3, és más felbontás nem is létezik. Az egész számok és a hozzá kapcsolódó fogalmak − így például a prímszámok és maga a számelmélet alaptétele is − általánosíthatók a fentebb már említett gyűrűkre.

Kummer rámutatott, hogy Cauchy és Lamé egyaránt épített arra a feltételezésre, miszerint a számelmélet alaptételével analóg állítás igaz bizonyos gyűrűkben, ám ezt a feltételezést elfelejtették bizonyítani. A kriptográfiáról szóló cikksorozat részletesen foglalkozik ennek feltételeivel, mivel ez a kérdés alapvető fontosságú a rejtjelezési eljárások szempontjából is. Kummer megmutatta, hogy Cauchy és Lamé feltételezése hibás volt, ám sikerült befoltoznia ezeket a logikai hézagokat az úgynevezett ideális számok bevezetésével. Ezek segítségével a számelmélet alaptétele azokban a gyűrűkben is érvényessé válik, amelyekre az említett bizonyítások építenek. A dolog hátulütője viszont, hogy muszáj hozzá bevezetni az úgynevezett reguláris prímek fogalmát, mivel a bizonyítás csak ezekre működik. Kummer továbbá arra is rámutatott, hogy a többi (azaz az irreguláris) prímet az akkori matematikai eszközökkel nem lehet egységesen kezelni, azok mindegyikével külön-külön, valamilyen egyedi módszerrel kell elbánni. Ami még inkább elkeserítő, hogy egyrészt azóta már tudjuk, hogy sajnos végtelen sok irreguláris prím létezik, az viszont még a mai napig sem tisztázott, hogy vajon ez igaz-e a reguláris prímekre.

Kummer eredménye a sejtés szempontjából ugyan csúfos kudarcnak tekinthető, ám részben ebből fejlődtek ki azok a 20. századi eredmények (többek között például az Iwasawa-elmélet), amelyekkel végül sikerült megoldani ezt a bosszantó rejtvényt. Így a második cikksorozatból reményeim szerint Kummer korszakalkotó munkájának részleteit ismerheti majd meg az Olvasó, és természetesen vele együtt én magam is, hiszen − mint már említettem − magam is „kívülállónak” számítok.

Jövőbeli tervek

A további cikksorozatok témája is szorosan kapcsolódni fog a Fermat-sejtéshez és a Kummer utáni idők eredményeihez. Yves Hellegouarch „Invitation to the Mathematics of Fermat−Wiles” című könyve minden bizonnyal fontos iránytűként fog szolgálni ehhez, amely lényegében az ehhez szükséges matematikai elméletek egyfajta vázlatos összefoglalója. Nem mellesleg Hellegouarch-nak fontos szerepe volt a Fermat-sejtés megoldásában, mivel ő és Gerhard Frey vetették fel, hogy az talán a már említett Taniyama−Shimura-sejtésből következik. Ezt végül Ken Ribet amerikai matematikus igazolta 1986 nyarán, innen pedig már egyértelműen megnyílt az út Andrew Wiles számára: „mindössze” igazolnia kell a Taniyama−Shimura-sejtést.

Az persze számomra is kérdéses, hogy nem matematikusi végzettséggel milyen mélységekig lehet így eljutni. De bármi is lesz a történet vége, a cél mindenképpen adott: kirángatni ezt a rendkívül absztrakt tudományt az akadémiai falak közül, és közelebb hozni azokhoz, akik hozzám hasonlóan „kívülállóknak” érzik magukat, de komolyabban érdeklődnek a téma iránt. Remélem, hogy a tudományos világ képviselői, illetve nálam sokkal hozzáértőbb személyek is partnerek lesznek ebben, ez ugyanis egyetlen embernek lehetetlen vállalkozás.

A blog a közösségi médiában is jelen van, ahol érdeklődők és szakemberek egyaránt értesülhetnek a megjelenő tartalmakról, és ahol talán elkezdődhet egyfajta közösségépítés: https://www.facebook.com/youproof.hu

Moldvai Dávid

15. szám 2020. március

Még több cikk

Az Érintő 2020-as első számának megjelenését március 14-ére időzítettük. Ezen a napon van ugyanis a Matematika Világnapja! 2020-ban ez az első ilyen hivatalos ünnep, amelyet a Nemzetközi  Matematikai Unió javaslatára 2019. novemberében fogadott el az UNESCO. Az első, úgynevezett „pi-nap” 1988. márc. 14-én volt: a dátum, a 3.14 a ℼ két tizedes jegyre kerekítve. Persze a magyar matematikusok már évtizedekkel korábban is remek pi-verseket írtak. Tovább...

A Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének hat matematikusa – Boldog Péter, Tekeli Tamás, Vizi Zsolt, Dénes Attila, Bartha Ferenc és Röst Gergely – azt modellezte, hogy az egyes országokban mekkora a veszélye egy Kínán kívüli járványkitörésnek. A matematikai modellek alkalmazása igen hatékony módszer lehet a járványok elleni küzdelemben. Segítségükkel pontosabb becsléseket adhatunk a COVID-19 járvány fő paramétereire – mint az inkubációs időszak és a fertőző időszak hossza, vagy a járvány reprodukciós száma –, előre jelezhetjük a járvány jövőbeli terjedését, kiértékelhetjük az eddigi intézkedések hatását, esetleg új intézkedéseket javasolhatunk. Tovább…

A π-ről már a régi görögök is tudtak: bármely két kör hasonló, ezért bármely kör kerületének és átmérőjének aránya ugyanannyi. Arkhimédész beírt és körülírt szabályos sokszögekkel próbálta megközelíteni az egységnyi átmérőjű kör kerületét. Ám a π, bár görög betű, nem az ógörögöktől, de még csak nem is az ókorban kapta a nevét. Írásos feljegyzések szerint William Jones walesi matematikus használta először a π-t a kör kerületének (periféria) és átmérőjének arányára egy 1706-ban megjelent munkájában. Ezt a jelölést vette át Leonhard Euler svájci matematikus az 1730-as években, és innen terjedt el a világon. Fried Katalin gyűjtött össze néhány érdekes, hasznos tudnivalót. Tovább...

Az Úton-módon sorozat második részében Szoldatics József ismét egy geometria példát mutat meg, és mindazt, ami róla az eszébe jutott... A 2019 évi Nemzetközi Magyar Matematikaverseny egyik, 9. osztályosoknak szóló feladatát Erdős Gábor (Batthyány Lajos Gimnázium, Nagykanizsa) javasolta. A feladatra matematika tanárok egy csoportja 20 elemi megoldást adott. Ezek közül a közölt hét megoldás mindegyike a maga nemében szép, vagy valami szép tulajdonságot használ. Tovább...

Hogyan képesek megvédeni modern társadalmunkat a számok? Hogyan lehetséges az, hogy technikai civilizációnk léte vagy nem léte múlik olyan dolgokon, amelyek csak a képzeletünkben léteznek? Ilyen kérdéseken gondolkodik Moldvai Dávid, aki egy azok közül, akik szerint a matematikusok világa meglehetősen elvont és furcsa. A „kívülálló”, akit az információelmélet és a kriptográfia érdekel, elindította a youproof.hu blogot. Olvassák, érdemes! Tovább…

A szerző, B. A. Korgyemszkij (1907–1999) az orosz nyelvű matematikai ismeretterjesztés legfontosabb alakja volt. Nem ez az első könyve magyarul sem, például 1962-ben jelent meg tőle a Matematikai fejtörők. Az ismertetendő könyv viszont az utolsó, amit írt. A feladatok kis történetek formájában jelennek meg, amelyekben az orosz népmesék és szépirodalom számos alakjával találkozunk. Rovatszerkesztőnk, Tóth János nosztalgiával és iróniával fűszerezett kedvcsinálója következik. Tovább…

Harcos Gergelyt már óvodásként is különösen érdekelték a számok, amiket egy ösvénynek tekintett. Középiskolás korában nyáron élvezettel oldott meg egyre több és több feladatot a Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapokból (egyetemi évei végén pedig már a matematika szerkesztőbizottság tagjaként dolgozott). 10 évet töltött Amerikában matematikus kutatóként, majd 2006-ban települt vissza családjával Magyarországra. Tudományos tanácsadó a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetben.

Orosz Gyula diákjai a szakkörön a 9. osztály egyik legkönnyebb szerkesztési feladatából kiindulva lépésenként eljutnak egy jóval nehezebb problémához: Adott egy egyenes, egy külső P pont és egy O középpontú kör. Tükrözzük a P pontot az egyenesre úgy, hogy további kört már nem rajzolhatunk! Azaz a szerkesztéshez csak egyetlen kört, azon túl pedig csak vonalzót használhatunk. Az eszközkorlátozott szerkesztések témaköre önállóan is érdekes. Általában nem igényel mélyebb előismereteket, ezért a tanulók kedvelni szokták, a dinamikus geometriai szoftverekkel pedig maga a szerkesztés technikai végrehajtása sem túl fáradságos. Tovább...

Daniel Tammet: Számokban létezünk című könyve már szerepelt az Érintő előző számában, most egy teljesen más recenziót olvashat róla az érdeklődő, az előzőt egy gyógypedagógus írta, ezt pedig egy matematikus, Ruzsa Imre. Ezért neki egészen más dolgok jutnak az eszébe ugyanarról a műről. Véleménye szerint: „A könyv műfaja: vegyesfelvágott; szerző olvas mindenfélét, erről mindenféle eszébe jut, és ezeket leírja. Sokfélét összeolvas és élénken jár a fantaziája, úgyhogy a könyv általaban szórakoztató.” Tovább...

Füredi Zoltán minden évben nyert az országos középiskolai versenyeken, de a tehetség mellett a sikerhez az is hozzájárult, hogy előre kiolvasta a speciális matematika tagozat négy évfolyamának tankönyveit, és legalább húszezer feladatot megoldott. Évfolyamának egyik legjobb matematikusa, aki kívülről tudta József Attila verseit. Több mint 20 évet töltött félig az Amerikai Egyesült Államok különböző egyetemein, félig a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetben. Ma a kombinatorika nemzetközi hírű kutatóprofesszora.

A Wolfram nyelv (archaikusan: Mathematica) többször is szerepelt már folyóiratunk hasábjain, de mivel nem elégszer, ezért most Tóth János ismertet néhány aktuális érdekességet folytatva a programozásról szóló előző írását. Amint bizonyára mindenki jól emlékszik, ott alapvető ismeretekről (a Map és az Apply függvényről) volt szó, itt viszont a másik végletről. Egészen összetett feladatok ellátására képes függvényekről.  (Képünk forrása: Computational intelligence, wolframalpha.com.) Tovább...

2019 decemberében a Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetének vendége volt Philip Maini, az Oxfordi Egyetem professzora, a matematika biológiai alkalmazásainak világszerte egyik legnevesebb kutatója. Érdekes előadásáról, amelyet A biológiai és kémiai önszerveződés matematikája címmel tartott a Bolyai Intézet hagyományos karácsonyi szemináriumán, Dénes Attila számol be. Tovább…

A fejlett országokban is megfigyelhető az az aggasztó jelenség, hogy csökken a diákok érdeklődése a természettudományok, a technológia, a műszaki tudományok iránt, miközben egyre nagyobb szükség van ezeken a területeken széles látókörrel, komplex problémamegoldó képességgel és nagyfokú flexibilitással  rendelkező szakemberekre. A BME Természettudományi Kara Science Camp néven 2016. óta szervez ingyenes természettudományos tábort hazai és határon túli középiskolás diákoknak. Lángné Lázi Márta számol be az eddigi tapasztalatokról. Tovább…

Az előző évtizedben két olyan matematikust is Fields-éremmel díjaztak (Cédric Villani 2010, Alessio Figalli 2018), akiknek munkájában az optimális transzport probléma jelentős szerepet játszott. A probléma születését Gaspard Monge 1781-ben publikált művéhez, (egyik) újászületését pedig Leonyid Vitaljevics Kantorovics 1942-es dolgozatához kötik. (Ő látható címképünkön, Petrov-Vodkin 1938-ban készült festményén.) Ebben a rövid írásban Titkos Tamás bemutatja a transzport probléma Monge- és Kantorovics-féle megfogalmazásait. Tovább...

A Bolyai János Matematikai Társulat 2019-es díjainak kiosztására, valamint a Kürschák József Matematikai Tanulóverseny és a Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny eredményhirdetésére december 11-én került sor. A Szele Tibor Emlékérem, a Grünwald Géza Emlékérem, a Farkas Gyula Emlékdíj és a Rényi Kató Emlékdíj szabályzata, megemlékezve a névadókról is, a Társulat honlapján itt olvasható. Híradásunk ismerteti a díjazottakat, akiknek nevére kattintva olvashatják méltatásukat.Tovább...

A matematika és fizika tudománya évszázadok óta kart karba öltve fejlődik. A fizika a matematika nyelvén fogalmazza meg törvényeit, igényei pedig hatással vannak a matematika fejlődésére. Az iskolában azonban találkozunk azzal a problémával, hogy fizikaórán már alkalmazás szinten kellene használni a tanulónak olyan matematikai összefüggéseket, amelyekkel a matematikaórán még alig, vagy egyáltalán nem találkozott. A fizikatanár sokszor rákényszerül arra, hogy bevezesse a hiányzó matematikai ismereteket. Bakosné Novák Andrea saját tapasztalait is átadja, bemutatva, milyen lehetőségeket ad hozzá a matematika tanításához a fizika. Tovább...

Jim Holt legújabb könyve nemrég jelent meg Magyarországon Jakabffy Éva és Jakabffy Imre fordításában, a Typotex Kiadó gondozásában. Az ismertetett témák tág területen kalandoznak: találkozhatunk a Riemann-sejtéssel és a négyszíntétellel, húrelmélettel és az univerzum végére vonatkozó elméletekkel, olvashatunk Ada Byron és a számítógéptudomány kapcsolatáról, vagy éppen az idő természetéről és az eugenetikáról. Lángi Zsolt recenziója itt olvasható. Tovább...

2018. júniusi számunkban értesülhettek a 2. Formális reakciókinetikai szimpóziumról. 2020. január 9.-én és 10.-én sor került a harmadikra is a BME H épületében, evvel a címmel: 3rd Workshop on Formal Reaction Kinetics and Related Areas. A szűk értelemben vett elmélet mellett tehát idén helyet kaphattak járványtani, génszabályozási vagy rákkutatási témák is. Bővült a résztvevők és az érdeklődő intézmények, országok száma. A miniszimpóziumról Tóth János minibeszámolója következik. (Bevezető képünket a molekulák ritka és sűrű ütközéseiről Sadi Carnot készítette.)Tovább…