Belső változók

Arkadi Berezovski és Ván Péter: Internal Variables in Thermoelasticity című könyvéről

A szerzők az inhomogén anyagok modellezési eszközeinek bővítésével és azok származtatásának, értelmezésének és gyakorlati alkalmazásainak elmélyítésével foglalkoznak a könyvben. Mindezt úgy teszik, hogy az olvasónak mindig a szeme előtt lebegjen a cél: honnan hová tartunk, és mi a célunk.

A könyv éppen emiatt nem tisztán matematikai írás, de nem is egyértelműen fizikakönyv, szorosan illeszkedik mindennapi életünk mindennapi problémáihoz: hővezetés, rugalmasságtan és úgy általában véve a kontinuumfizikai kérdések tárgyalása a célja. Szerencsére a szerzők nem is vállalkoznak arra, hogy egy egységes, átfogó és mindenre kiterjedő alapelméletet keressenek, ami mindent megmagyaráz. A területet leszűkítik a termomechanikára és sokkal inkább az eddig ismert, a hőtan és mechanika alaptörvényeinek nevezett egyenletek érvényességi határainak megtalálására és ezek általánosításainak szempontjaira, lehetőségeire. A könyv magja és mondanivalója azonban egységes módszertan és eszközrendszer köré épült, a belső változók és a termodinamika egységét építik fel benne.

Az általánosítás szükségességét – egyedi bevezetésként – a hullámterjedéssel kapcsolatos numerikus példák szemléltetik. Ezekhez a szerzők megadják a termodinamikai szemlélettel konstruált igen hatékony algoritmusaikat is. Itt több különböző anyagmodellen mutatják be, mely jelenségek azok, amelyek fizikailag elfogadhatóak, és mely modellek adnak elfogadhatatlan eredményt; mindezt a diszperziós relációk kiszámításával teszik. Sajnos nem foglalkoztak a peremfeltételek kérdéskörével, speciálisan azzal (ami önmagában véve is érdekes), hogy a magasabb – akár negyedrendű – deriváltak jelenléte mit jelent, és egy adott hullámterjedési fizikai problémánál ez milyen nehézségeket okoz.

A könyv összesen négy nagyobb részre van osztva, amelyek közül az első a termomechanikai alapelveket és a belső változók bevezetésének lehetőségeit tárgyalja. A belső változók hatékony eszközt jelentenek az anyagok mikrostrukturális leírásához, de ez nem feltétlenül korlátozódik a mikrostruktúrákra. A könyv maga és az abban bemutatott irodalom is tárgyalja azok makroszintű felhasználásának lehetőségeit is, az anyagi inhomogenitás leírását megcélozva.

A belső változós megközelítés némileg megosztó: nem szükséges ismerni magát az egzakt fizikai jelentést, csupán annak tenzoriális rendjét, ellenben a termodinamika – pontosabban szólva annak II. főtétele – mégis a helyére teszi azt a bizonyos belső változót. Emiatt a módszertan használata könnyű és hatékony, a fizika egyre több területén elterjedőben van.

A könyv későbbi részei pedig erre a módszertanra adnak alkalmazási példákat, felölelve a vonatkozó irodalom rendkívül kiterjedt szeletét. Egyaránt foglalkoznak a mikroszerkezeti modellezéssel, a nemlinearitások hatásával, a gyengén nemlokális kiterjesztésekkel és a hővezetés modern kérdéseivel.

A hővezetés egy egészen kiemelkedő kérdéskört jelent – nem csupán matematikai és fizikai oldalról, hanem annak filozófiai háttere miatt is. Akár azt is mondhatnánk, hogy a hővezetés a tökéletlenség egyik leghétköznapibb megtestesülése a való életben. Termodinamikai oldalról gyakorlatilag a legegyszerűbb is.

A régi görögök két részre osztották a világot. A földhözragadt földi világ a valódi dolgok helyszíne volt. Múlandó és tökéletlen emberek és állatok népesítették be, akik nem léphettek kétszer ugyanazon folyóba. Ezzel szemben a Hold feletti világban összhang volt, és a csillagok, bolygók, a Hold és a Nap tökéletes körpályákon mozogva zengték a szférák zenéjét (lásd pl. itt). Püthagorász létrehozta a természetre vonatkoztatott matematikát, és azt hirdette, hogy akár a szférák harmóniái is kileshetőek a halandó emberek számára. Az embereknek vajmi kevés beleszólása volt a Hold feletti világ történéseibe. A tökéletes harmónia világa viszont meghatározta az emberek sorsát. Ezért a tudást az emberiség az égi dolgok megfigyelésével kereste. A tökéletlen alsó világ a mesteremberek, a kor mérnökei és nem a filozófusok világa volt.

Tulajdonképpen ma sincs ez nagyon másképp. A tökéletest a tökéletlentől elválasztó határvonal kitolódott a Holdon túlra és a láthatatlanul kis méretekre, de a fizika és a természettudományok lényegében szétválnak két összeférhetetlen részre. Az ideális egyenletekből ideális módszerekkel továbbra sem sikerül entrópiát produkáló tökéletlen egyenleteket gyártani, de a mérnöki tudományok nem kerülhetik el a tökéletlen dolgok kezelését. A nem ideális dolgok tudománya a termodinamika, a nem ideális folyamatoké pedig a nemegyensúlyi termodinamika.

A klasszikus térelméletek a nemrelativisztikus téridőn definiált mezők fejlődési egyenletein alapulnak. Ezek a gyakorlat szempontjából fontos parciális differenciálegyenletek, illetve azok csatolt rendszerei. A módszer, ahogy megkonstruáljuk, „kitaláljuk” őket, általában meghatározza, hogy hogyan gondolkodunk a modellezett jelenségekről, és sok esetben a megoldásuk módszereit is, numerikusat és analitikusat egyaránt. Az egyik legáltalánosabb módszer a fizikában a variációs elveken alapul. Viszont a variációs elvek tökéletes világban működnek jól, tökéletlen, disszipatív esetben nem.

Mit tehetünk akkor, ha a variációs elvek nem vezetnek eredményre? Először is be kell tartanunk a tökéletlen világot kormányzó termodinamika törvényeit. A könyv szerint ezen kívül nem is kell más.

Most nézzük meg, hogyan épül be a tökéletlenség gondolatmenete a termodinamikába a Fourier-egyenletnek, mint a hővezetés legalapvetőbb modelljének példáján keresztül. Ehhez viszont azonnal el kell fogadni a II. főtételt, mint a termodinamikai stabilitást, valamint a folyamatok irányát meghatározó és kifejező fizikai elvet és elvárást, amelyet matematikailag az alábbi egyenlőtlenség formájában írhatunk fel:

$\displaystyle \rho \frac{\partial s}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = \sigma_s \geq0,$

ahol $s=s(e)$ az entrópia sűrűsége, ami a legegyszerűbb, izotróp merev testre vonatkozó esetben csak az $e$ belső energiától függ. Ettől a függvénykapcsolattól elvárjuk a konkávitási tulajdonság teljesülését. Továbbá $\rho$ a tömegsűrűség, $\nabla \cdot \mathbf{J}$ pedig a $\mathbf{J}$ entrópiaáram – mint vektormennyiség – divergenciáját jelöli, $\sigma_s$ pedig maga az entrópiaprodukció. A jobb oldalon álló egyenlőtlenség pontosan azt a tökéletlenséget fejezi ki, amelyet általában véve a variációs elveken keresztül nem lehet megfogni: olyan folyamatot modellezünk, amely disszipatív és entrópiát termel. Az entrópiaáram „legegyszerűbb”, klasszikus formája:

$\displaystyle \mathbf{J} = \frac{\mathbf{q}}{T},$

ahol $T$ a hőmérséklet és $\mathbf{q}$ pedig a hőáram. A rájuk vonatkozó mérlegegyenlet az $e=c_V T$ belső energia mérlege: $\rho c_V \frac{\partial T}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{q} =0$ , ahol a $c_V$ együttható az állandó térfogatra vonatkozó fajhő. Utolsó előtti lépésként az $s$ entrópia és a $T$ hőmérséklet közötti kapcsolatot kell megadni, amit a Gibbs-reláció fejez ki: $Tds = de$ . Ekkor már az entrópiaprodukciót közvetlenül tudjuk számolni:

$\displaystyle \sigma_s = \mathbf{q} \cdot \nabla \frac{1}{T}\geq0.$

Ennek az egyenlőtlenségnek a megoldása adja a Fourier-egyenletet eredményül egy $k>0$ arányossági együtthatóval:

$\displaystyle \mathbf{q} = k \nabla \frac{1}{T},$

ahol aztán a deriválás elvégzése után látjuk, hogy a $\lambda=k/T^2$ hővezetési tényező adódik és

$\displaystyle \mathbf{q} = - \lambda \nabla T.$

Vagyis azt kell itt észrevennünk, hogy a II. főtétel teljesülése, azaz az entrópiaprodukció pozitivitása megadja számunkra a kívánt konstitutív, anyagra vonatkozó, annak „működését” leíró egyenletet. Habár a Fourier-egyenlet a mérnöki gyakorlatban remekül bevált, ennek ellenére több probléma is akad, amit orvosolni kell. A legtöbbet emlegetett probléma az egyenlet parabolikus volta. Matematikai és fizikai értelemben a parabolikusság végtelen jelterjedési sebességet jelent, ami gyökeresen ellentmond a tapasztalatainknak. Végtére is, csak nem gondolhatjuk, hogy egy gyufa meggyújtása az univerzum túloldalán is érződik!

Ezen túlmenően számos kísérleti tény is bizonyítja: a Fourier-egyenlet nem elegendő, annak kiegészítésére, általánosítására szintén szükség van. Az ehhez kötődő problémákkal a könyv második fele foglalkozik. Itt most a legegyszerűbb, belsőváltozós kiterjesztését, az úgynevezett Maxwell–Cattaneo–Vernotte-egyenletet (röviden MCV) nézzük meg példaként. Tudománytörténetileg az MCV-egyenlet szerepe kiemelkedő. Hiperbolikussága miatt megszüntette a Fourier-egyenlet parabolikusságának problémáit, alacsony hőmérsékletű kísérletek bizonyos szintig validálták. (Ezek a kísérletek szintén hullámterjedési jelenségeket mutattak, az MCV-egyenlet az úgynevezett „második hang”, mint disszipatív hullámterjedés jelenségének a leírására használatos.) Végül pedig: a valósághoz közelebb álló modellt jelent. Bár az irodalomban többféle levezetése is megtalálható, a könyvben bemutatott belső változókat kihasználó rendszerbe tökéletesen beilleszthető az alábbi gondolatmenet. Amiben az MCV-egyenlet több a Fourier-egyenlettől, az a lokális egyensúlyi hipotézis elhagyása és annak feltételezése, hogy más – belső – változó is szerepet játszik. Ezt az entrópiasűrűségen keresztül egyszerű és célszerű kifejezni:

$\displaystyle s=s_{e}(e) - \frac{m}{2} \mathbf{q}^2, \quad (m>0),$

ahol az $s_e$ tag jelöli a klasszikus, lokális egyensúlyi állapothoz köthető részt, $\mathbf{q}^2$ pedig az ettől való eltérést fejezi ki, ahol $\mathbf{q}$ az előzőekkel egyezően a hőáramot jelöli. Fontos kiemelni, hogy most a hőáram tölti be a belső változó szerepét, de ezt az azonosítást általában véve nem kötelező megtenni. Ekkor azonban az MCV-egyenlettől általánosabb egyenletet kapnánk eredményül. Az entrópiasűrűség ilyen alakú feltételezése a legegyszerűbb, ami lehetővé teszi a konkávitási tulajdonság megőrzését úgy, hogy közben a lokális egyensúlytól való eltérést is kifejezzük. Ennyi módosítás elegendő ahhoz, hogy a konstitutív egyenletet ugyanazon az úton megkapjuk. Az entrópiaprodukció a fentieknek megfelelően módosul:

$\displaystyle \sigma_s = \mathbf{q} \left ( \nabla \frac{1}{T} - \rho m \frac{\partial \mathbf{q}}{\partial t} \right ) \geq 0,$

ahol ugyancsak az egyenlőtlenség megoldásaként kapjuk a konstitutív egyenletet, így az MCV-egyenlet:

$\displaystyle \tau \frac{\partial \mathbf q}{\partial t} + \mathbf q = -\lambda \nabla T.$

Itt $\tau$ az úgynevezett relaxációs idő, mechanikai szemlélettel élve egyfajta tehetetlenséget, időkésést fejez ki. Fontos viszont újfent hangsúlyozni, hogy ez a fajta egyenlet már hiperbolikus, azaz véges jelterjedési sebességű megoldásai vannak. Ez a tulajdonság egyszerűen belátható a $\mathbf{q}$ hőáram kiküszöbölése révén, egy dimenzióra egyszerűsítve:

$\displaystyle \tau \frac{\partial^2 T}{\partial t^2} + \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2},$

ahol megjelenik az $\alpha = \lambda/(\rho c_V)$ hőfokvezetési tényező, a jelterjedési sebesség pedig $\pm \sqrt{\alpha/\tau}$ .

A könyvből azonban hiányzik a jelterjedési sebességek mélyebb elemzése. A fő probléma ugyanis, hogy habár a jelterjedési sebesség véges, mégis nagyobb lehet, mint a fénysebesség, természetesen csak a modell szerint. Így, bár a tapasztalatainkhoz közelebb áll, mégsem tükrözi annak minden aspektusát. A téridőn való, relativisztikus limitet is figyelembe vevő felírás pedig nem feltétlenül jelent erre megoldást, jó példa erre az Israel–Stewart-féle modell. Valamint ki kell emelni, hogy hiperbolikus egyenletekkel leírható folyamatok is termelnek entrópiát, a hiperbolikus tulajdonság önmagában kevés a tökéletességhez. A tanulságokat mindenki levonhatja: a parabolikus-hiperbolikus kérdés messze nem eldöntött, és nem egyértelmű, hogy mi a megfelelő elméleti-gyakorlati szempontokat egyaránt figyelembevevő általánosítás.

A könyv az eddigiekben bemutatott eszköztárat használja, bár nem az entrópiát kezeli alapvető potenciálként. Remekül rávilágít a lokális egyensúlytól való eltérésre, a mérlegegyenletek és a konstitutív egyenletek szerkezetére és azok II. főtétellel való kapcsolatára. Külön pozitívum, hogy az egyenletek megoldására numerikus módszert javasolnak a szerzők, és sokszor a megoldásokat is bemutatják.

Könnyen lehet, hogy a matematikában mélyen jártas olvasók a könyvet nem találják majd eléggé matematikainak, de az szinte bizonyos, hogy az egyenletek interpretációjáról és a fizikai elvekkel való összhangról rengeteg tanulsággal és ötlettel szolgálhat nemcsak számukra, hanem mindenki számára.

A tökéletesség nem ideális, az ideális pedig nem tökéletes. A törekvés a tökéletesre lehet valós, az ideális világ csak képzetes, a valódi világunk feltérképezése és megértése pedig komplex. Ehhez mindkét oldal összhangjára szükség van, amit ez a könyv remekül megtestesít.

Kovács Róbert

A BME GPK Energetikai Gépek és Rendszerek Tanszékének
és az MTA Wigner FK RMI Elméleti Fizikai Osztályának munkatársa.
Kutatási területe a kontinuumtermodinamika és annak matematikai módszerei.