Úton-módon 1.

Úton-módon 1.

Egy feladat és ami róla az eszembe jutott...

Az idei Győr–Moson–Sopron Megyei Matematikaverseny egyik feladatát Árki Tamás (Révai Miklós Gimnázium és Kollégium, Győr) kollégám javasolta. A feladat a $ 100^\circ-40^\circ-40^\circ$ háromszögről szólt. $ 100^\circ-40^\circ=60^\circ$. Elgondolkodtam. Biztos lesz itt szép megoldás!

A következőkben 6 megoldást mutatok. Mind a hat a maga nemében szép, vagy valami szép tulajdonságot használ.

A feladat

Az $ ABC$ háromszögben $ AB=AC$ és $ CAB\sphericalangle=100^\circ$. Az $ AB$ oldal $ B$-n túli meghosszabbításán vegyük fel a $ D$ pontot úgy, hogy $ AD=BC$ teljesüljön. Számítsuk ki az $ ADC\sphericalangle$ nagyságát.

1. megoldás

Használjuk fel, hogy a feladatban szereplő szögekre $ 100^\circ-40^\circ=60^\circ$.

Rajzoljuk az $ AC$ oldalra az $ AEC$ szabályos háromszöget az ábra szerint. Kössük össze a $ D$ és $ E$ pontokat. 

Szoldatics 01

1. ábra

$ EAD\sphericalangle=100^{\circ}-60^{\circ}=40^{\circ}$=$ ABC\sphericalangle$. Mivel az $ ABC$ és a $ DEA$ háromszögben az e két szöget közrefogó két-két oldal is egyenlő:$ BC=AD$ és $ BA=AE$, így $ ADE\triangle\cong BCA\triangle$.

Ezért $ DE=AE=CE$, vagyis az $ A$, $ C$ és $ D$ pontokra illeszkedő kör középpontja $ E$. Mivel az $ AC$ szakasz $ E$-ből $ 60^{\circ}$ alatt látszik, a $ D$ kerületi pontból $ 30^{\circ}$ alatt. Tehát a keresett szög $ 30^{\circ}$-os.

2. megoldás

Most is felhasználjuk, hogy a feladatban szereplő szögekre $ 100^\circ-40^\circ=60^\circ$, de máshol keressük ezt a szöget.

Rajzoljuk meg a feladatban szereplő $ ABC$ háromszöggel egybevágó $ AEC$ háromszöget az ábrán látható módon úgy, hogy $ ACE\sphericalangle=100^\circ$ legyen. Kössük össze a $ D$ és $ E$ pontokat. 

 Szoldatics 02

2. ábra

 

Ekkor és $ AD=BC=AE$, valamint

$\displaystyle DAE\sphericalangle=DAC\sphericalangle-EAC\sphericalangle=100^{\circ}-40^{\circ}=60^{\circ},
$

tehát a $ DAE$ háromszög szabályos, így $ AD=DE$ is teljesül. Az $ ADEC$ négyszög tehát deltoid, ($ AC=CE$ és $ AD=DE$), amelynek szimmetria átlója a $ DC$ szakasz, tehát felezi az $ ADE$ szöget.

Ebből következik, hogy a keresett szög $ ADC\sphericalangle=\dfrac{ADE\sphericalangle}{2}=30^{\circ}$.

3. megoldás

Ebben a megoldásban nem a szögek különbségét keressük, hanem a két szög összegét:  $ 40^\circ+60^\circ=100^\circ$.

Rajzoljunk $ BCE$ szabályos háromszöget a $ BC$ oldalra az ábra szerint. Kössük össze a $ D$ és $ E$ pontokat. 

 

Szoldatics 03
3. ábra

 

$ AB=AC$ és $ EB=EC$, tehát az $ ABEC$ négyszög deltoid, amelynek $ AE$ szimmetria átlója, így $ AEC\sphericalangle=\dfrac{1}{2}CEB\sphericalangle=30^\circ$.

$ ECA\sphericalangle=60^\circ+40^\circ=100^\circ$, azaz  $ ECA\sphericalangle=DAC\sphericalangle$, és , így az $ ACED$ négyszög szimmetrikus trapéz, tehát húrnégyszög.

A négyszög köré írható körben az $ AC$ szakasz az$ E$ pontból  és a $ D$ pontból egyenlő szögben látszik, tehát .

4. megoldás

Most keressük a szabályos háromszöget egy meglepő helyen.

Rajzoljunk az $ AD$ oldalra az eredetivel egybevágó $ AED$ háromszöget az ábra szerint.

Szoldatics 04
4. ábra

 

Legyen $ F$ a $ BC$ oldalnak azon pontja, amelyre $ CA=CF$. Kössük össze az  pontot a  és az  csúcsokkal.

Számítsuk ki az $ AEFC$ négyszög szögeit!

$ FCA\sphericalangle=40^{\circ}$, $ CAE\sphericalangle=100^\circ+40^{\circ}=140^{\circ}$, ami azt jelenti, hogy $ FC\parallel AE$. Mivel $ EA=AC=CF$ is teljesül, az $ ACFE$ négyszög rombusz, amelynek szögei $ 40^\circ$ és $ 140^\circ$-osak.

Tekintsük most az $ EDF$ háromszöget. $ DEF\sphericalangle=100^{\circ}-40^{\circ}=60^\circ$, és mivel $ ED=EA=EF$, az $ EDF$ háromszög szabályos, vagyis $ FDE\sphericalangle=60^\circ$. Innen $ ADF\sphericalangle=EDF\sphericalangle-EDA\sphericalangle=60^\circ-40^\circ=20^\circ$.

A $ CDF$ háromszög egyenlő szárú, mert $ DF=FC$.  $ CFD\sphericalangle=360^\circ-70^\circ-70^\circ-60^\circ=160^\circ$, így $ FCD\sphericalangle=FDC\sphericalangle=10^\circ$. Tehát  $ ADC\sphericalangle=ADF\sphericalangle+FDC\sphericalangle=30^\circ$.

5. megoldás

Most nézzünk egy teljesen más megoldást, amely trigonometriára támaszkodik. A megoldás során felhasználjuk a

$\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta = 2\cdot \cos \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)
$

és ennek egy másik formáját, a

$\displaystyle 2\cdot \cos\alpha\cdot \cos\beta=\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)
$

azonosságot is.

Vegyük fel $ AC$ oldal meghosszabbításán azt az $ E$ pontot, amelyre $ DEA\sphericalangle=DAE\sphericalangle=80^{\circ}$. (Mivel $ DAE\sphericalangle=80^{\circ}$, ez az $ E$ pont létezik.)

Szoldatics 05
5. ábra

 

Az $ ABC$ háromszögben a szárak hosszai $ AB=AC=a$, válasszuk ezt egységnyinek, azaz . Az $ A$-ból induló magasság két olyan derékszögű háromszögre bontja az $ ABC$ háromszöget, amelyekben definíció szerint $ \dfrac{b}{2}=1\cdot \sin50^{\circ}$, azaz $ b=2\sin50^\circ$.

Mivel $ DE=DA=b$ (hiszen így vettük fel a $ D$ pontot), továbbá $ EDA\sphericalangle=20^{\circ}$, ebből következik, hogy

$\displaystyle EA=2b\cdot \sin10^\circ=4\cdot \sin 10^{\circ}\cdot\sin 50^{\circ}.
$

Mivel

$\displaystyle 2\cdot \sin 10^{\circ}\cdot\sin 50^{\circ}=2\cdot \cos 80^{\circ}...
...cos 40^{\circ}=\cos 120^{\circ}+\cos 40^{\circ}=\sin 50^{\circ}-\dfrac{1}{2},
$

azért

$\displaystyle EA=4\cdot \sin 10^{\circ}\cdot\sin 50^{\circ}=2\cdot\sin 50^{\circ}-1=b-a,
$

ami azt jelenti, hogy $ EC=b=AD=ED$, azaz a $ DEC$ háromszög egyenlő szárú. Mivel $ DEC\sphericalangle=80^\circ$, ebből következik, hogy $ EDC\sphericalangle=ECD\sphericalangle=50^{\circ}$.

A keresett szög:

$\displaystyle ADC\sphericalangle=EDC\sphericalangle-EDA\sphericalangle=50^{\circ}-20^{\circ}=30^{\circ}.
$

6. megoldás

És végül mutatunk egy tisztán trigonometrikus gondolatmenetet. A megoldás során felhasználjuk a

$\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta = 2\cdot \cos \left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)\cdot \cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)
$

azonosságot.

Legyen az $ ABC$ háromszög szárainak hossza $ AB=AC=a$; válasszuk ezt egységnyinek, azaz . Ekkor az $ A$-ból induló magasság két olyan derékszögű háromszögre bontja a háromszöget, amelyekben definíció szerint $ \frac{b}{2}=\sin 50^\circ$, azaz $ b=2\cdot\sin 50^{\circ}$.

Szoldatics 06
6. ábra

 

Felírva a szinusztételt az $ ADC$ háromszög $ AD$ és $ AC$ oldalaira ($ \alpha$-val jelölve a keresett $ ADC$ szöget)

$\displaystyle \dfrac{2\cdot\sin 50^{\circ}}{1}$ $\displaystyle =\dfrac{\sin(180^{\circ}-100^{\circ}-\alpha)}{\sin \alpha}=\dfrac{\sin(80^{\circ}-\alpha)}{\sin \alpha},$
$\displaystyle 2\cdot\sin 50^{\circ}$ $\displaystyle =\dfrac{\sin 80^{\circ}\cdot \cos \alpha-\cos 80^{\circ} \cdot\sin \alpha }{\sin \alpha},$
$\displaystyle 2\cdot\sin 50^{\circ}$ $\displaystyle =\sin 80^{\circ} \cdot\operatorname{ctg}\alpha-\cos 80^{\circ},$
$\displaystyle 2\cdot\sin 50^{\circ}+\cos 80^{\circ}$ $\displaystyle =\sin 80^{\circ} \cdot\operatorname{ctg}\alpha,$
$\displaystyle \operatorname{ctg}\alpha$ $\displaystyle =\dfrac{2\cdot\sin 50^{\circ}+\cos 80^{\circ}}{\sin 80^{\circ}}.$

A kifejezést tovább alakítva

$\displaystyle \operatorname{ctg}\alpha$ $\displaystyle =\dfrac{2\cdot\sin 50^{\circ}+\cos 80^{\circ}}{\sin 80^{\circ}}=\...
...irc}}=\dfrac{\cos 40^{\circ}+\cos 40^{\circ}+\cos 80^{\circ}}{\sin 80^{\circ}}=$
  $\displaystyle =\dfrac{\cos 40^{\circ}+2\cdot\cos 60^{\circ}\cdot\cos 20 ^{\circ...
...rc}}{\sin 80^{\circ}}=\dfrac{\cos 40^{\circ}+\cos 20^{\circ}}{\sin 80^{\circ}}=$
  $\displaystyle =\dfrac{2\cdot\cos 30^{\circ}\cdot \cos 10^{\circ}}{\sin 80^{\cir...
...in 80^{\circ}}=\dfrac{\sqrt{3}\cdot \cos 10^{\circ}}{\cos 10^{\circ}}=\sqrt{3}.$

Eszerint $ \operatorname{ctg}\alpha=\sqrt{3}$, azaz $ \alpha=ADC\sphericalangle=30^{\circ}$.

Zárszó

Kedves Olvasó! Ha egy másik „szép” megoldást talál, kérem küldje el nekem a Ez az e-mail-cím a szpemrobotok elleni védelem alatt áll. Megtekintéséhez engedélyeznie kell a JavaScript használatát. e-mail címre. Ezeket az újabb megoldásokat összegyűjtve időnként (terveim szerint) szintén megmutatnám.

Szoldatics József

 

 

 

 

 

 

 

 

14. szám 2019. december

Még több cikk

Rendhagyó, páros interjút készített egymással Kránicz Gréta és Szikszai Mónika arról, mi volt a motivációjuk, amikor pályát választottak, hogyan tekintenek vissza a tanulmányaikra és hogy milyen tapasztalataik vannak matematikusként a pénzügyi világban. Mindketten az ELTE alkalmazott matematika alapszakán, majd a biztosítási es pénzügyi matematika mesterszakán végeztek. Most az MSCI amerikai székhelyű pénzügyi szolgáltató cégnél dolgoznak Budapesten. Tovább...

Tanóra rovatunkban Szoldatics Józsefet, a Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium tanárát kértük fel, járjon körbe egy számára érdekes feladatot. Ő geometria feladatot választott, ami egy olyan háromszögről szól, amelyben a szögek 100 – 40 – 40 fokosak. A feladatra 6 megoldást mutat. Mind a hat a maga nemében szép, vagy valami szép tulajdonságot használ. Tovább...

A SIAM News 2019 január/februári számának tudománypolitikai rovatában jelent meg az Egyesült Államok megújult STEM oktatási stratégiájáról szóló cikk, amiből most az Érintő magyar olvasói számára is tanulságos részeket közöl. Kovács Ágnes fordításából kiderül, milyen az amerikai kormány matematikai, természettudományos, műszaki és informatikai képzésének ötéves stratégiai terve. Tovább...

„A tanítás örökös keresés: hogyan lehetne közelebb vinni, jobban megértetni a gyerekekkel az adott témát, milyen módszerrel, milyen játékokkal lehet felépíteni egy-egy fogalmat, vagy hogyan gyakoroljunk, hogy ne legyen unalmas, hogyan lehetne örömet szerezni matekórán. A legtöbb ötletet, módszert a kollégáimtól lestem el. Kötelező „lopni" egymástól, hiszen egy jó tanár órája rengeteg ötletet indíthat el bennünk." Tovább...

2019. november 22-24. között 27. alkalommal került sor Komáromban (Szlovákiában) a kárpát-medencei magyar középiskolások számára évenként megrendezett Nagy Károly Matematikai Diáktalálkozóra. Az idei háromnapos rendezvény 20 előadásán több, mint 80 tanár és diák vett részt anyaországi vagy egyéb kárpát-medencei magyarlakta vidékről. A rendezvény ötletgazdája, Oláh György és az idén elhunyt Keszegh István után Fonód Tibor lett a diáktalálkozó fő szervezője. Tovább…

Palugyai István több mint negyven év újságírói tapasztalattal a háta mögött nemrég jelentette meg 62 interjút tartalmazó válogatását a tudomány világából. Az interjúalanyok egy része Nobel-díjas, vagy jelentős külföldi tudós, fizikusok, vegyészek, orvosok között „a matek Lady Gagája”, Cédric Villani francia és Jin Akyiama japán matematikus. Tovább…

Rábai tanár úr még 90 éves korán túl is örömmel és nagy felkészültséggel tartott előadást, gondosan válogatott példákkal akár diákok, akár tanárok számára. Hosszú pályafutása alatt nagyon sok könyvet, feladatgyűjteményt, az érettségire vagy egyetemi felvételire készülőket segítő példatárat és egyéb oktatási segédanyagot írt. De a legbüszkébb a legendás első speciális matematika tagozatos osztályára volt. Egykori tanítványa, Laczkovich Miklós emlékezik meg róla. Tovább...

A csomóelmélet két alapvető célja, hogy megértsük a csomók „geográfiáját” – azaz hogy megkülönböztessük, avagy osztályozzuk a csomókat –, és hogy tanulmányozzuk a csomó helyzetét a háromdimenziós térben. E célkitűzések vonatkoznak a Legendre-csomóelméletre is. Az AMS Notices 2009-ben megjelent írása (fordította: Földvári Viktória) a sztenderd kontakt térben vizsgál Legendre-csomókat. Hogy megértsük a sztenderd kontakt struktúrát, először képzeljünk el egy egykerekűt például egy parkolóban, majd tekintsük a pályát, amit az egykerekű járna be azzal a megkötéssel, hogy a kerék sosem áll észak-déli irányba...Tovább...

Varga Tamás (1919−1987) a matematikaoktatás kutatásának kiemelkedő, nemzetközi hírű szakembere volt; a hazai matematikaoktatás, és különösen a felfedeztető matematikaoktatási hagyomány máig épít a munkásságára. Születésének 100. évfordulóját az MTA nemzetközi konferenciával ünnepelte. A sikeres rendezvényről a fő szervezők, Csapodi Csaba, Gosztonyi Katalin és Vancsó Ödön számolnak be. Tovább…

Harminc évvel ezelőtt, 1989. november 9-én, azaz a berlini fal leomlásának napján alakult meg a Typotex Elektronikus Kiadó Kft. Jelképes dátum ez, valójában egy hosszabb folyamat betetőzése. A néhány fős vállalkozás három évtized alatt fontos szellemi műhellyé nőtte ki magát. Erről a folyamatról, az elmúlt 30 évről szeretnék felvillantani pár momentumot. Votisky Zsuzsa, aki a leginkább illetékes abban, hogy mi történt ez alatt az idő alatt, sajnos már nincs közöttünk. Az ő elképzelései alapján alakult úgy a Typotex sorsa, ahogyan alakult –  írja Németh Kinga. Tovább... 

Hirtelen és váratlanul távozott el az élők sorából 2019. október 4-én Dr. Pap Gyula egyetemi tanár, a határeloszlás-tételek, a sztochasztikus folyamatok és a matematikai statisztika nemzetközileg elismert kutatója, aki élen járt a tudományos utánpótlás nevelésében. Könyvét az elágazó folyamatok statisztikai paraméterbecsléseiről már nem tudta megírni. Debreceni kollegája, Dr. Kántor Sándorné középiskolás kora óta közelről ismerte őt. Tovább…

Varga Dániel a Prezi cégnél dolgozik, mellette a Rényi Alfréd Matematikai Intézet kutatója, területe a mesterséges intelligencia, azon belül a deep learning, a mély mesterséges neuronhálók. Matematikai és informatikai tudására egyaránt szüksége van, hogy avval foglalkozhasson, ami érdekli.

Az International Symposium on Mathematical and Computational Biology (BIOMAT) konferenciasorozat 2001-ben Brazíliában indult, 2011 óta minden évben más ország ad otthont a rendezvénynek. 2019-ben a Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézete szervezte a konferenciát, amelyen október 21. és 25. között 14 országból csaknem 50 matematikus ismertette legújabb eredményeit. Az előadások témái, amelyekről Dénes Attila számol be, a matematikai biológia legkülönbözőbb területeiről kerültek ki. Tovább…

Matematika a mindennapokban egy autizmusban érintett matematikus szemén keresztül. Habár az autizmus lehetne csak egy plusz szó a mondatban, ennél sokkal nagyobb szerepe van. Olyan szerepe, ami áthatja az egész könyvet, ugyanúgy, ahogy maga az állapot hatja át az érintett személy egész életét és annak minden aspektusát. Vajda Kitti gyógypedagógus írt Daniel Tammet: Számokban létezünk című könyvéről. Tovább...