Információk

 Aktuális szám: 8. szám 2018. június 

Stephen Hawking matematikai munkáiból

Stephen Hawking matematikai munkáiból

A Gibbons—Hawking konstrukció

1. Bevezetés

Ebben az írásban a G. Gibbons és S. Hawking által megtalált aszimptotikusan lokálisan lapos gravitációs (anti-)insztanton-családot ismertetjük, és leírjuk ezek aszimptotikus viselkedését a sokaság végtelen távoli részén. A második szakaszban a differenciálgeometriában kevéssé járatos olvasó számára bevezetjük ezen egyenletek természetes nyelvezetét, az úgynevezett Riemann-sokaságok és ezek Riemann-féle görbületi tenzorának fogalmát. A harmadik szakaszban megadjuk a $ 4$-sokaságok görbületi tenzorának felbontását, és bevezetjük a gravitációs anti-insztanton fogalmát. A negyedik szakaszban gravitációs anti-insztantonok két konstrukcióját mutatjuk meg, és leírjuk a kapott megoldások aszimptotikus viselkedését.

2. Riemann-sokaságok, Levi-Cività-konnexió, görbület

Legyen $ M$ összefüggő szeparábilis Hausdorff-tér és $ n\in \mathbb{N}$. Azt mondjuk, hogy $ M$-en adott egy $ n$-dimenziós differenciálható sokaság struktúra, ha létezik $ M$-beli nyílt halmazok olyan $ \{ U_i \}_{i\in I}$ családja, amelyre

$\displaystyle M = \cup_{i\in I} U_i, $

és minden $ i\in I$ esetén létezik 

$\displaystyle \varphi_i \colon U_i \to V_i $

homeomorfizmus valamely nyílt $ V_i\subseteq \mathbb{R}^n$ halmazra, valamint minden $ i,j \in I$ esetén a

$\displaystyle \varphi_{ij} = \varphi_i \circ \varphi_j^{-1} $

leképezés inverzével együtt differenciálható.

Legyen $ M$  $ n$-dimenziós differenciálható sokaság és $ x\in M$. Ekkor $ M$-nek az $ x$-beli értintőtere az összes $ \gamma \colon (-\varepsilon, \varepsilon)\to M$ görbe halmaza valamely $ \varepsilon > 0$ esetén, amelyre $ \gamma (0) = x$ és valamely (ekvivalens módon, bármely) $ i\in I$-re $ \varphi_i \circ \gamma_1$ sima, a következő ekvivalenciareláció erejéig: két ilyen $ \gamma_1, \gamma_2$ görbe akkor és csak akkor ekvivalens egymással, ha valamely olyan $ i\in I$ esetén, amelyre $ x \in U_i$, teljesül

$\displaystyle (\varphi_i \circ \gamma_1)' (0) = (\varphi_i \circ \gamma_2)' (0). $

Az $ n$-dimenziós $ M$ differenciálható sokaság $ x$-beli értintőtere egy $ n$-dimenziós vektortér, amelyet $ T_x M$-mel jelölünk. Egy sima vektormező $ M$-en egy szelése az értintőnyalábnak, azaz egy

$\displaystyle X\colon x\mapsto X (x) \in T_x M $

hozzárendelés, amelyre $ X(\varphi_i^{-1} (y))$ sima $ y$-ban. Egy $ f$ függvény deriváltja egy $ X$ vektormező mentén az az $ X.f$ függvény, amelyre

$\displaystyle (X . f)(x) = (f\circ \gamma)' (0) $

bármely $ X(x)$-et reprezentáló $ \gamma$ görbe esetén.

Egy konnexió $ M$-en egy olyan eljárás, ami két $ X,Y$ sima vektormezőhöz egy $ \nabla_Y X$ vektormezőt rendel, teljesítve a következő feltételeket:

  • additivitás $ Y$-ban: bármely $ X, Y_1, Y_2$ vektormezőkre

    $\displaystyle \nabla_{Y_1 + Y_2} X = \nabla_{Y_1} X + \nabla_{Y_2} X; $

     

  • linearitás $ Y$-ban skalármezők felett: bármely $ f$ sima függvényre $ M$-en

    $\displaystyle \nabla_{f Y} X = f \nabla_{Y} X; $

     

  • additivitás $ X$-ben: bármely $ X_1, X_2,Y$ vektormezőkre

    $\displaystyle \nabla_{Y} (X_1 + X_2 ) = \nabla_Y X_1 + \nabla_Y X_2; $

     

  • Leibniz-szabály: bármely $ f$ sima függvényre $ M$-en

    $\displaystyle \nabla_{Y} (fX) = (Y . f) X + f \nabla_Y X. $

     

Legyenek $ X,Y$ sima vektormezők egy $ M$ differenciálható sokaságon. Ekkor létezik egy olyan $ [X,Y]$ sima vektormező $ M$-en, hogy bármely $ f$ sima függvényre $ M$-en

$\displaystyle X.(Y.f) - Y.(X.f) = [X,Y].f $

A $ [X,Y]$ vektormezőt $ X$ és $ Y$ Lie-zárójelének nevezzük. Egy $ \nabla$ konnexió torziója az $ X,Y$ irányokban a

$\displaystyle T_{\nabla} (X,Y) = T_{\nabla} (X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y] $

mennyiség. Egy $ \nabla$ konnexiót torziómentesnek hívunk, ha minden $ X,Y$ sima vektormezők esetén $ T_{\nabla} (X,Y) = 0$.

Egy Riemann-metrika egy $ n$-dimenziós $ M$ differenciálható sokaságon az $ M$ értintőterein adott $ g$ szimmetrikus pozitív definit bilineáris formák olyan

$\displaystyle g_x\colon T_x M \times T_x M \to \mathbb{R} $

családja, hogy bármely $ X,Y$ sima vektormezők esetén

$\displaystyle g_x (X(\varphi_i^{-1} (y)), Y(\varphi_i^{-1} (y))) $

sima függvény $ y$-ban. Egy Riemann-sokaság egy $ (M,g)$ páros, ahol $ M$ egy $ n$-dimenziós differenciálható sokaság és $ g$ egy Riemann-metrika $ M$-en. Legyen adott egy $ (M,g)$ Riemann-sokaság. Ekkor bármely $ \gamma \colon [0,1]\to M$ sima görbének definiálhatjuk a hosszát az

$\displaystyle l(\gamma ) = \int_0^1 \sqrt{g_{\gamma (t)}( \gamma' (t), \gamma' (t) )} {\operatorname{d}}t $

 képlettel. Továbbá, bármely $ x,y \in M$ esetén definiálhatjuk az $ x$ és $ y$ közötti távolságot a

$\displaystyle d(x,y) = \inf_{\gamma} (l(\gamma )) $

képlettel, ahol az infimumot az összes olyan $ \gamma \colon [0,1]\to M$ sima görbére vesszük, amelyre $ \gamma (0) = x$ és $ \gamma (1) = y$. Ekkor $ d$ egy metrika $ M$-en; innen ered a „Riemann-metrika” elnevezés is. Innentől feltesszük, hogy az $ (M,g)$ Riemann-sokaságból ezzel az eljárással nyert $ (M,d)$ metrikus tér teljes.

Egy $ \nabla$ konnexiót kompatibilisnek mondunk egy $ g$ Riemann-metrikával, ha bármely $ X,Y,Z$ vektormező esetén teljesül, hogy

$\displaystyle Z. (g(X,Y)) = g(\nabla_Z X, Y) + g (X, \nabla_Z Y). $

A Riemann-geometria főtétele szerint minden $ (M,g)$ Riemann-sokaságon létezik pontosan egy torziómentes konnexió, amely kompatibilis $ g$-vel. Ezt a konnexiót az $ (M,g)$ Riemann-sokaság Levi-Cività-konnexiójának nevezzük, és  $ \nabla^{{\operatorname{LC}}}$-vel jelöljük. A Levi-Cività-konnexióból származtatható egy $ (1,3)$-tipusú $ R$ tenzormező a

képlettel. $ R$-et az $ (M,g)$ Riemann-sokaság Riemann-féle görbületi tenzorának hívjuk. Jelöljük $ \Omega_x^2$-vel a $ T_x M$-en értelmezett antiszimmetrikus bilineáris alakok vektorterét, ellátva a $ g$ által indukált metrikával. Ekkor $ R_x$-nek vannak bizonyos szimmetriái, amik miatt felfogható egy

$\displaystyle R_x \in {\operatorname{O}}(\Omega_x^2, g_x) $

szimmetrikus lineáris transzformációként. Végül, a Riemann-féle görbületi tenzorból származtatható a

$\displaystyle Ric_x \in {\operatorname{O}}(T_x M, g_x) $

Ricci-féle görbületi tenzormező a

$\displaystyle Ric_x (X,Y) = \sum_{i=1}^n g_x (R_x(E_i, X, Y), E_i(x)) $

képlettel, ahol $ E_1(x), \ldots , E_n(x)$ a $ (T_x M, g_x)$ euklideszi tér egy tetszőleges ortonormált bázisa. A Ricci-görbület tehát a Riemann-görbület nyoma az első és utolsó változójában. Az általános relativitás-elmélet (Riemann-féle) vákuum Einstein-egyenlete az eddigi jelölésekkel felírható a

$\displaystyle Ric_x = k g_x $

alakban, ahol $ k\in \mathbb{R}$ (a $ g$ metrika úgynevezett Einstein-állandója).

3. Gravitációs anti-insztantonok

Az Einstein-egyenlet a $ 4$-dimenziós téridő fizikai modelljéből származó matematikai egyenlet, amelynek ismertek érdekes megoldásai. Ezek ismertetésétől azonban most eltekintünk, mert cikkünk szorosabban vett témája egy ehhez kapcsolódó, ám matematikailag jobban kezelhető egyenlet felírása és megoldásainak vizsgálata. Ebben a szakaszban az $ M$ Riemann-sokaság dimenziója $ n=4$.

Legyen adott egy $ (M,g)$ Riemann-sokaság. Ekkor, minden $ T_x M$ érintőtéren kapunk egy $ {\operatorname{dV}}_x$ térfogati formát, azaz egy alternáló

$\displaystyle T_x M\times T_x M\times T_x M\times T_x M \to \mathbb{R} $

multilineáris leképezést: egy $ E_1(x), \ldots , E_4(x)$ ortonormált bázisra

$\displaystyle {\operatorname{dV}}_x (E_1(x), \ldots , E_4(x)) = 1. $

Továbbá, minden $ \alpha, \beta \in \Omega_x^2$ pároshoz hozzárendelhetünk egy $ \alpha \wedge \beta$ térfogati formát a

$\displaystyle ( \alpha \wedge \beta ) (X_1 , X_2 , X_3, X_4) = \frac 14 \sum_{\... ... ) \alpha (X_{\sigma(1)}, X_{\sigma(2)}) \beta (X_{\sigma(3)}, X_{\sigma(4)}) $

képlet által. A Hodge-operátor egy $ 4$-dimenziós $ (M,g)$ Riemann-sokaságon az a

$\displaystyle * \colon \Omega_x^2 \to \Omega_x^2 $

leképezés, amelyre minden $ \alpha, \beta \in \Omega_x^2$ esetén

$\displaystyle \alpha \wedge * \beta = g_x (\alpha, \beta) {\operatorname{dV}}_x. $

Könnyen látható, hogy  $ * \circ * = {\operatorname{Id}}_{\Omega_x^2}$, tehát $ \Omega_x^2$ felbomlik

$\displaystyle \Omega_x^2 = \Omega_x^+ \oplus \Omega_x^- $

alakban, ahol

$\displaystyle \Omega_x^{\pm} \subset \Omega_x^2 $

a Hodge-operátor $ \pm 1$-sajátértékhez tartozó altere. Az $ \Omega_x^{\pm}$ alterek egyenként $ 3$-dimenziósak, és elemeiket rendre önduális illetve anti-önduális $ 2$-formáknak nevezzük.

Bontsuk fel a Riemann-féle görbületi tenzort ezen felbontás szerinti tömb-mátrixokra. Ehhez előbb írjuk fel a Ricci-görbületet a nyoma és nyom-nélküli része összegeként:

$\displaystyle Ric = \frac s4 {\operatorname{Id}}_{T_x M} + Ric_0, $

ahol

$\displaystyle s = {\operatorname{tr}}(Ric)\colon M \to \mathbb{R} $

az $ M$ skalár-görbülete, $ Ric_0$ pedig a nyom-nélküli Ricci-görbület. Kiderül, hogy $ Ric_0$ felcseréli az $ \Omega_x^{\pm}$ altereket, és $ R_x$ alakja erre a felbontásra nézve a következő:

$\displaystyle \begin{pmatrix} \frac s{12} {\operatorname{Id}}_{\Omega_x^+} + W... ... Ric_0 & \frac s{12} {\operatorname{Id}}_{\Omega_x^-} + W^- \end{pmatrix}. $

 Az itt bevezetett $ W^{\pm}$ tenzorokat $ (M,g)$ pozitív illetve negatív Weyl-tenzorának nevezzük. Azt mondjuk, hogy egy $ (M,g)$ Riemann-féle $ 4$-sokaság gravitációs anti-insztanton, ha teljesül

$\displaystyle Ric = 0, \quad W^+ = 0. $

Az első egyenlet éppen az Einstein-egyenlet $ k=0$ állandóval, a második pedig a görbület anti-öndualitását írja elő. Az egyenletrendszer elnevezése is ezt tükrözi: a gravitációs jelző arra utal, hogy az Einstein-egyenlet a gravitációt írja le, míg az anti-insztanton általános elnevezés anti-öndualitási egyenletek megoldásaira. Itt tehát e két egyenletrendszer csatolásából álló rendszert vizsgáljuk. A gravitációs insztanton fogalma teljesen hasonló a gravitációs anti-insztantonéhoz, azzal a különbséggel hogy ekkor $ W^-$-ról követeljük meg ugyanazt mint fent $ W^+$-ról; e két egyenlet kicserlélődik egymással a sokaság irányításának megfordítása esetén, ezért az előjelnek ebben az elméletben nincs fontos szerepe.

Amennyiben $ M$ teljesít egy egyszeresen összefüggőségnek nevezett globális topológiai tulajdonságot, akkor kiderül, hogy $ (M,g)$ akkor és csak akkor gravitációs anti-insztanton, ha $ \Omega^+$-nak létezik egy globális $ \nabla^{{\operatorname{LC}}}$-párhuzamos bázisa —  az ezzel a tulajdonsággal rendelkező Riemann-féle $ 4$-sokaságokat hiperkähler $ 4$-sokaságoknak nevezzük. 

4. Gravitációs anti-insztantonok konstrukciói: tegez-varietások, Eguchi—Hanson és Gibbons—Hawking terek

M. Atiyah, V. Drinfeld, N. Hitchin és Y. Manin egy 1978-as konstrukciója, az úgynevezett ADHM-konstrukció [1], illetve annak P. Kronheimer és H. Nakajima általi továbbfejlesztése [5] egy általános módszert ad hiperkähler-sokaságok konstruálására. Az így kapott sokaságok általános neve tegez-varietás. A tegez-varietások konstrukciójának kiinduló adata egy véges $ \Gamma$ gráf, $ V$ csúcspont- és $ E$ élhalmazzal, egy

$\displaystyle \overrightarrow{d}\colon V \to \mathbb{N} $

függvény (az úgynevezett dimenzió-vektor), valamint egy rá merőleges

$\displaystyle \overrightarrow{\zeta}\colon V \to \mathbb{C} \oplus \mathbb{R} $

vektor. Minden véges $ \Gamma$ gráfhoz, $ \overrightarrow{d}$ dimenzió-vektorhoz és $ \overrightarrow{\zeta}$ vektorhoz tartozik tehát egy $ (M(\Gamma, \overrightarrow{d}, \overrightarrow{\zeta}),g)$ tegez-varietás egy Riemann-metrikával, amely kellően általános $ \overrightarrow{\zeta}$ esetén egy sima hiperkähler-sokaság. Speciálisan, legyen $ \Gamma$ egy $ k$-hosszú ciklus és a $ \overrightarrow{d}$ dimenzió-vektor rendeljen $ \Gamma$ minden csúcsához $ 1$-et (ahogy az ábra is mutatja), valamint legyen $ \overrightarrow{\zeta}$ kellően általános.

an

1. ábra: A ciklikus $ \Gamma$ gráf

Kiderül, hogy az ezekkel a választásokkal kapott $ M(\Gamma, \overrightarrow{d}, \overrightarrow{\zeta})$ tegez-varietás egy olyan $ 4$-dimenziós gravitációs anti-insztanton, amelynek alaptere diffeomorf az

$\displaystyle xy + z^k = 0 $

egyenlettel definiált $ A_{k-1}$ egyszerű komplex felület-szingularitás kisimításával. Az így kapott $ 4$-dimenziós gravitációs anti-insztantonokat Eguchi—Hanson tereknek nevezzük.

A tegez-varietások egyik alapvető tulajdonsága, hogy nem kompaktak, azonban a $ g$ metrika viselkedése valamely $ K$ kompakt halmazon kívül jól behatárolt, úgynevezett aszimptotikusan lokálisan euklideszi (ALE). Ennek a fogalomnak a megértéséhez vegyük észre, hogy a $ 4$-dimenziós euklideszi tér metrikája az origón kívül előáll

$\displaystyle g_{R^4} = r^2 g_{S^3} + {\operatorname{d}}r^2 $

alakban, ahol $ r$ az origótól mért távolság, $ g_{S^3}$ pedig $ g_{R^4}$ megszorítása az $ S^3$ egységgömbre. Ez az azonosság azt a szemléletesen nyilvánvaló tényt fejezi ki, hogy az $ r$-sugarú gömbfelület metrikája $ r$-szerese az egység-sugarú gömbének. Ezt általánosítva azt mondjuk, hogy egy $ M$ nem-kompakt Riemann-féle $ 4$-sokaság aszimptotikusan lokálisan euklideszi, ha valamely $ K\subset M$ kompakt halmazra

$\displaystyle M \setminus K = S \times \mathbb{R}, $

valamely $ 3$-dimenziós $ S$ Riemann-sokaságra, és a metrikák között áll a

$\displaystyle g_M \approx r^2 g_S + {\operatorname{d}}r^2 $

aszimptotikus egyenlőség. Az Eguchi—Hanson terek metrikája tehát teljesíti ezt a feltételt, $ S = S^3 / A_{k-1}$ választással.

Analitikus szempontból az aszimptotikusan lokálisan euklideszi terek a végtelenben nagyon természetes viselkedésűek, mert hasonlítanak az euklideszi terekre. Léteznek azonban másfajta aszimptotikus viselkedésű gravitációs anti-insztantonok is. Ezek közül több szempontból az úgynevezett aszimptotikusan lokálisan lapos (ALF) terek lényegesek. Ezen terek aszimptotikus viselkedése a következő: valamely $ K\subset M$ kompakt halmazra

$\displaystyle M \setminus K = S \times \mathbb{R}, $

valamely $ 3$-dimenziós $ S$ Riemann-sokaságra, továbbá $ S$ fibrálódik egy $ \Sigma$ Riemann-felület felett $ S^1 = \{ e^{2i \pi \theta} \}$ körvonal-fibrumokkal, a metrika pedig valamely $ \beta > 0$ skalárra teljesíti a

$\displaystyle g_M \approx r^2 g_{\Sigma} + \beta {\operatorname{d}}\theta^2 + {\operatorname{d}}r^2 $

aszimptotikus egyenlőséget. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy ha tekintjük az $ r$ távolságra levő $ S$ sokaságot, akkor nem a teljes $ S$ metrikája szorzódik meg $ r^2$-tel, hanem annak csak egy rögzített $ 2$-dimenziós irányba eső része, a maradék $ 1$-dimenziós rész átmérője pedig tart $ 2\pi \beta$-hoz ahogy $ r$ tart a végtelenbe. Fizikailag ezen $ \beta$ érték (egy állandó erejéig) a megoldás hőmérsékletének inverzeként interpretálható.

Aszimptotikusan lokálisan lapos gravitációs anti-insztantonokat konstruálni bonyolultabb, mint aszimptotikusan lokálisan euklideszieket. Az első ilyen konstrukciót G. Gibbons és S. Hawking írta le [3,4]. A konstrukció a következő: legyen $ U \subset \mathbb{R}^3$ véges sok, egymástól különböző $ \{ p_1, \ldots , p_k \}$ pont komplementere és $ V\colon U \to \mathbb{R}$ egy harmonikus függvény, amelyre

$\displaystyle \left[ \frac{*{\operatorname{d}}V}{2\pi} \right] \in H^2(U, \mathbb{Z}) $

egész kohomológia-osztály. (A képletben szereplő $ *$ a $ 3$-dimenziós Hodge-operátor.) Ez a feltétel felfogható egy kvantálási feltételként. A Chern—Weil elmélet szerint létezik egy $ S^1$-nyaláb $ U$ felett valamely $ M$ totális térrel, valamint egy $ \eta$ konnexió-forma $ M$-en, amelyre

$\displaystyle *{\operatorname{d}}V = {\operatorname{d}}\eta. $

Ekkor, $ M$-en a

$\displaystyle g = \frac 1V \eta^2 + V ({\operatorname{d}}x_1^2 + {\operatorname{d}}x_2^2 + {\operatorname{d}}x_3^2) $

metrika gravitációs anti-insztanton, amely kiterjed a $ p_i$ pontokra. Ezen konstrukció

$\displaystyle V(x) = \sum_{i=1}^k \frac 1{\vert x-p_i\vert} $

választással visszaadja a $ G = \mathbb{Z}/(k-1)$ véges csoporthoz (pontosabban, az $ A_{k-1}$ szingularitáshoz) tartozó Eguchi—Hanson tereket. Minden $ \beta > 0$ esetén a

$\displaystyle V(x) = \beta^{-1} + \sum_{i=1}^k \frac 1{\vert x-p_i\vert} $

választás azonban aszimptotikusan lokálisan lapos teret eredményez ugyanezen sima sokaságon.

Ilyen értelemben, a Gibbons—Hawking terek általánosításai a már korábbról ismert és aszimptotikusan egyszerűbb viselkedésű aszimptotikusan lokálisan euklideszi gravitációs anti-insztantonoknak. Számos azóta született matematikai-fizikai eredmény (például [2,6]) azt mutatja, hogy ezek a megoldások sok szempotból alapvetőbb jelentőségűek aszimptotikusan lokálisan euklideszi társaiknál. Ezen elméletek leírása azonban már túlmutat jelen cikk keretein.

Irodalomjegyzék

[1] M. Atiyah, V. Drinfeld, N. Hitchin, Y. Manin Construction of Instantons, Physics Letters, 65A (1978), 185—187.
 
[2] A. Braverman, M. Finkelberg, H. Nakajima Towards a mathematical definition of Coulomb branches of $ 3$-dimensional $ \mathcal N=4$ gauge theories, II., https://arxiv.org/abs/1601.03586
 
[3] G. Gibbons, S. Hawking Graviational multi-instantons, Physics Letters B 78 (1978), 430—432.
 
[4] G. Gibbons, S. Hawking Classification of Gravitational Instanton symmetries, Comm. Math. Phys. 66 (1979), 291—310.
 
[5] P. Kronheimer, H. Nakajima Yang—Mills instantons on ALE graviational instantons, Math. Ann. 288 (1990), 263—307.
 
[6] E. Witten Geometric Langlands From Six Dimensions, https://arxiv.org/abs/0905.2720 

Szabó Szilárd

BME Matematikai Intézet, Geometria Tanszék

https://geometria.math.bme.hu/szabo-szilard