Centrális egyszerű algebrák és Galois-kohomologia

Centrális egyszerű algebrák és Galois-kohomologia

 

1. Kvaternióktól a centrális egyszerű algebrákig

A történet ott kezdődik, hogy a legenda szerint az 1840-es évek elején Hamilton ír matematikus azon gondolkozott, hogyan tudna a háromdimenziós vektorokon egy „jól működő” szorzást definiálni (a kétdimenziós sík és a komplex számok azonosításának mintájára). Hosszas gondolkozás után 1843 októberében rájött, hogy ugyan ez három dimenzióban nem lehetséges, négy dimenzióban viszont igen. A Hamilton-féle kvaterniók a $ t+xi+yj+zk$ alakú formális kifejezések, ahol $ t,x,y,z\in\mathbb{R}$, az $ i,j,k$ szimbólumokkal pedig a következőképpen kell számolni:

$\displaystyle ij=-ji=k,\quad jk=-kj=i,\quad ki=-ik=j,\quad i^2=j^2=k^2=-1.
$

Láthatóan a fenti szorzás nem kommutatív, ugyanakkor a disztributivitás megtartásával ki lehet terjeszteni az összes $ t+xi+yj+zk$ alakú kifejezésre úgy, hogy az asszociativitást megőrizzük. A Hamilton-féle kvaterniók egy $ \mathbb{H}$ ferdetestet alkotnak (az alapműveletek: összeadás, kivonás, szorzás, és $ \neq 0$ elemmel való osztás elvégezhetők azzal a kitétellel, hogy a szorzás, mint láttuk, nem kommutatív). Ráadásul a „tisztán képzetes” kvaterniókat azonosíthatjuk a háromdimenziós tér vektoraival és a kvaterniószorzás segítségével kifejezhető a skaláris és vektoriális szorzás is. Hamiltont a fizikai alkalmazások érdekelték, de hogy jön ide az aritmetika?

Ahhoz, hogy elinduljunk ezen az úton, az első észrevétel a következő: a $ t,x,y,z$ együtthatókat nemcsak a valós, hanem tetszőleges testből vehetjük. Ha például komplex együtthatókat választunk, akkor a kapott gyűrű izomorf lesz a $ \mathbb{C}$ feletti $ 2\times 2$-es mátrixok $ M_2(\mathbb{C})$ gyűrűjével a

$\displaystyle t+xi+yj+zk\leftrightarrow \begin{pmatrix}t+xi & y+zi\\ -y+zi & t-xi\end{pmatrix}
$

azonosításon keresztül (vegyük észre, hogy a mátrixban szereplő $ i$ egy komplex szám — melynek négyzete $ -1$ —, ami nem tévesztendő össze az $ i$ kvaternióval: a történeti hűség kedvéért most megengedjük ezt a pici jelölésbeli következetlenséget). Mint látni fogjuk, a $ \mathbb{H}$ gyűrű a valósak felett egy csavart formája a kétszer kettes mátrixok gyűrűjének: $ \mathbb{C}$ fölött már izomorffá válnak.

A centrális egyszerű algebrák (melyek a könyv fő témáját alkotják) nem mások, mint az $ n\times n$-es mátrixgyűrűk csavart formái nem feltétlenül algebrailag zárt testek felett (tetszőleges $ n\geq 1$-re). A precíz definíció a következő: Legyen $ K$ test, $ A$ pedig végesdimenziós $ K$-algebra (azaz $ A$ olyan egységelemes gyűrű, aminek $ K$ részgyűrűje úgy, hogy $ K$ minden eleme felcserélhető $ A$ minden elemével, és $ A$ végesdimenziós, mint $ K$ feletti vektortér). Az $ A$ algebrát akkor hívjuk centrális egyszerű algebrának ($ K$ felett), ha $ (i)$ egyszerű (azaz nincs nemtriviális kétoldali ideálja) és $ (ii)$ a centruma (azaz a minden $ A$-belivel felcserélhető elemek részgyűrűje) megegyezik $ K$-val. Wedderburn klasszikus tétele szerint minden centrális egyszerű algebra izomorf egy $ D$ ferdetest feletti $ M_n(D)$ teljes mátrixgyűrűvel (alkalmas $ n\geq 1$-re). Sőt, ha a $ K$ alaptest algebrailag zárt, akkor $ D=K$, azaz algebrailag zárt test fölött csak a teljes mátrixgyűrűk a centrális egyszerű algebrák. Viszont ha $ K$ nem algebrailag zárt (és az egyszerűség kedvéért a továbbiakban tegyük fel, hogy karakterisztikája $ \neq 2$), akkor léteznek úgynevezett nem hasadó centrális egyszerű algebrák: a $ 2\times 2=4$-dimenziós esetben az összes ilyen algebrát megkaphatjuk a szokásos kvaterniókhoz hasonló konstrukcióval: Vegyünk két nullától különböző $ a,b\in K$ elemet, és tekintsük a $ t+xi+yj+zk$ alakú formális kifejezéseket, ahol $ t,x,y,z\in K$, az $ i,j,k$ szimbólumokra pedig legyen:

$\displaystyle ij=-ji=k,\quad jk=-kj=-bi,\quad ki=-ik=-aj,\quad i^2=a,\quad j^2=b,\quad k^2=-ab.
$

Az így konstruált ún. (általánosított) kvaternióalgebrát $ (a,b)$-vel, vagy ha a $ K$ alaptestet is hangsúlyozni akarjuk, akkor $ (a,b)_K$-val jelöljük. Azt mondjuk, hogy az $ L/K$ testbővítés felhasítja az $ (a,b)_K$ kvaternióalgebrát (vagy általánosabban az $ A$ centrális egyszerű algebrát), ha $ (a,b)_L$ izomorf $ M_2(L)$-lel (illetve ha $ A\otimes_K L$ izomorf $ M_n(L)$-lel valamilyen $ n$-re).1 Nem nehéz belátni (a komplex együtthatós kvaterniókhoz hasonlóan), hogy minden kvaternióalgebrát felhasít egy alkalmas másodfokú bővítés: elegendő $ a$-ból (vagy $ b$-ből, esetleg $ -ab$-ből) négyzetgyököt vonni. Az is világos, hogy az $ a$ és $ b$ struktúrakonstansokat nem határozza meg egyértelműen a kvaternióalgebra izomorfiaosztálya: pl. $ (a,b)\cong (au^2,bv^2)\cong (b,a)$, sőt $ (a,b)\cong (a,-ab)$ ( $ 0\neq u,v\in K$ tetszőleges).

Ahhoz, hogy ezt a jelenséget mélyebben megértsük és osztályozni tudjuk az adott $ K$ test feletti centrális egyszerű algebrákat, segítségül kell hívnunk a Galois-elméletet.

2. Galois-kohomológia kommutatív együtthatókkal 

Motivációként kezdjük egy klasszikus példával. Az egyenletek gyökjelekkel való megoldhatóságának elméletéből ismeretes a következő

Tétel. Legyen $ K$ olyan test, melyben van primitív $ n$-edik egységgyök (speciálisan $ K$ karakterisztikája nem osztja $ n$-et), továbbá legyen $ L/K$ olyan Galois-bővítés, melynek $ G$ Galois-csoportja2 az $ n$-edrendű ciklikus csoport. Ekkor $ L$ nem más mint egy alkalmas $ 0\neq\alpha\in K$ elem (egyik) $ n$-edik gyökével való bővítése.

Hogyan bizonyítjuk ezt koncepciózusan? A gondolatmenet a következő: egy olyan $ \alpha\in K$ elemet szeretnénk találni, ami $ K$-ban nem $ n$-edik hatvány, sőt nem is $ k$-adik hatvány semmilyen $ 1<k\mid n$-re, viszont $ L$-ben már $ n$-edik hatvány. Fordítsuk ezt le a testek nemnulla elemeinek szorzáscsoportjára! Az $ L^\times$ multiplikatív csoporton az $ n$-edik hatványra emelés egy csoporthomomorfizmus, ezért az $ n$-edik hatványok egy $ (L^\times)^n$ részcsoportot alkotnak. Tehát $ \alpha$-nak egyszerre kell $ (L^\times)^n$-ben és a $ K^\times\leq L^\times$ részcsoportban is benne lennie. Mit jelent ugyanakkor, hogy $ K$-ban még nem $ n$-edik hatvány az $ \alpha$ elem? Azt, hogy nincs benne a $ (K^\times)^n$ részcsoportban. Sőt, az is kellene, hogy $ \alpha$ semmilyen $ 1<k\mid n$-re sincs benne $ (K^\times)^k$-ban, hiszen ha $ \alpha=\beta^k$ akkor az $ \sqrt[n]{\alpha}=\sqrt[n/k]{\beta}$-val való bővítés $ n$-nél kisebb ($ \leq n/k$) fokú lenne. Vegyük észre, hogy ezt átfogalmazhatjuk úgy is, hogy $ \alpha^{\frac{n}{k}}$ sem $ n$-edik hatvány $ K$-ban. Ez pedig másszóval azt jelenti, hogy $ \alpha$ mellékosztálya az $ ((L^\times)^n \cap K^\times)/(K^\times)^n$ faktorcsoportban egy $ n$-edrendű elem (az világos, hogy az $ n$-edik hatványa benne van $ (K^\times)^n$-ben). Tehát az $ n$-edik hatványra emelés, mint $ K^\times\overset{\cdot^n}{\to} (L^\times)^n\cap K^\times$ leképezés komagját szeretnénk megérteni, azaz a kérdés az, hogy a


$\displaystyle 1\to \mu_n\to K^\times\overset{\cdot^n}{\to} (L^\times)^n\cap K^\times\to ?$ (1)

sorozatban mit kell a $ ?$ helyére írnunk, hogy egzakt3 sorozatot kapjunk (itt $ \mu_n$ az $ n$-edik egységgyökök csoportját jelöli, ami nem más, mint az $ n$-edik hatványra emelés magja). A $ G$ Galois-csoport a Galois-elmélet főtételén keresztül jön a képbe: ennek segítségével tudjuk karakterizálni $ L$ azon elemeit, melyek benne vannak a szűkebb $ K$ testben: ezek pontosan azok az elemek, melyeket a $ G$ csoport minden eleme (mint $ L$ automorfizmusa) helybenhagy. (Ez annak az általánosítása, hogy egy komplex szám pontosan akkor valós, ha megegyezik a konjugáltjával.) Tehát az ([1]) sorozatot megkaphatjuk úgy, hogy a


$\displaystyle 1\to \mu_n\to L^\times\overset{\cdot^n}{\to} (L^\times)^n\to 1$ (2)

rövid egzakt sorozat elemeinek vesszük a $ G$-invariánsait (a $ G$-invariáns elemek részcsoportját a továbbiakban $ (\cdot)^G$-vel jelöljük). Így a kérdést arra a problémára fordítottuk le, hogy a $ G$-invariánsok képzése mennyire rontja el az egzaktságot: ezt méri a $ H^1(G,\mu_n)$ Galois-kohomológia csoport. Hogyan tudjuk ezt a kohomológiacsoportot megkonstruálni? Miért csak $ \mu_n$-től (és nem $ L^\times$-től vagy $ (L^\times)^n$-től) „függ” a $ ?$ helyére írandó csoport?

Ennek megválaszolásához kicsit általánosabban vegyük $ G$-hatással ellátott (additívan írt) Abel csoportoknak egy $ 0\to A\to B\to C\to 0$ rövid egzakt sorozatát, azaz $ A$ egy $ G$-invariáns részcsoport $ B$-ben, $ C\cong B/A$ pedig a faktorcsoport. Ha veszünk egy $ c\in C^G$ invariáns elemet, mi az oka annak, hogy az nem egy $ B$-beli invariáns elemből jön? Az egzaktság miatt van egy $ b\in B$ elem, ami erre a $ c\in C$-re képződik, de csak annyit tudunk, hogy $ b$ csak modulo $ A$ lesz $ G$-invariáns, azaz tetszőleges $ g\in G$-re $ gb-b\in A$. Tehát ez definiál egy $ f_b\colon G\to A$ leképezést, mégpedig $ f_b(g):=gb-b$.

Hogy viselkedik ez a függvény $ G$-beli művelettel?

$ f_b(gh)=ghb-b=g(hb-b)+(gb-b)=gf_b(h)+f_b(g)$: az ilyen tulajdonsággal bíró függvényeket hívják $ 1$-kociklusnak vagy keresztezett homomorfizmusnak. Ha $ c$ rögzített, mennyire függ $ f_b$ a $ b$ őskép választásától? Ha $ b'$ egy másik őskép, akkor $ b'-b=:a\in A$, és $ f_{b'}=f_b+f_a$, tehát egy $ a\in A$ elemmel definiált $ f_a$ függvényben térnek el (ún. principális keresztezett homomorfizmus). A $ H^1(G,A)$ első kohomológiacsoportot tehát a

$\displaystyle H^1(G,A):=\left\{\begin{matrix}G\to A~{\rm keresztezett}\\ {\rm h...
...cute{\rm a}{\rm lis}\\ {\rm keresztezett~homomorfizmusok}\end{matrix}\right\}
$

faktorcsoportként definiálhatjuk.

A mi esetünkben tehát milyen csoport lesz $ H^1(G,\mu_n)$? Mivel a $ K$ alaptestünk tartalmazza az $ n$-edik egységgyököket, ezért a $ G$-hatás triviális $ \mu_n$-en. Speciálisan minden keresztezett homomorfizmus egy igazi homomorfizmus, hiszen $ gf_b(h)=f_b(h)$, sőt, a principális keresztezett homomorfizmusok mind triviálisak. Viszont $ \mu_n$ és $ G$ is $ n$-edrendű ciklikus, ezért $ H^1(G,\mu_n)=\operatorname{Hom}(G,\mu_n)$ is az. Ahhoz, hogy az eredeti problémára választ adjunk, már csak azt kell látni, hogy a sorozat következő tagja, jelesül $ H^1(G,L^\times)$ triviális — ez pedig nem más, mint Hilbert $ 90$-es tétele.4 Így azt kaptuk, hogy az $ ((L^\times)^n \cap K^\times)/(K^\times)^n$ faktorcsoport izomorf $ H^1(G,\mu_n)$-nel, azaz az $ n$-edrendű ciklikus csoporttal. Speciálisan létezik a kívánt $ \alpha$ elem.

A homologikus algebra eszközeivel definiálhatók a magasabb fokú $ H^i(G,A)$ ($ i\geq 0$) kohomológiacsoportok is, mint a $ H^0(G,\cdot)=(\cdot)^G$ funktor ún. derivált funktorai. Itt $ A$ olyan Abel csoport, melyen a $ G$ csoport automorfizmusokkal hat. Az általános elméletből következik, hogy minden $ 0\to A\to B\to C\to 0$ rövid egzakt sorozathoz tartozik egy

\begin{multline*}
0\to A^G\to B^G\to C^G\to H^1(G,A)\to H^1(G,B)\to H^1(G,C)\to...
...s\to H^i(G,A)\to H^i(G,B)\to H^i(G,C)\to H^{i+1}(G,A)\to \cdots
\end{multline*}

kohomologikus hosszú egzakt sorozat.

3. Centrális egyszerű algebrák és a Brauer-csoport

A fentiek mintájára klasszifikálhatjuk az $ n$-edfokú (azaz a $ K$ alaptest felett $ n^2$-dimenziós) centrális egyszerű algebrákat is. Vegyünk egy $ A$ centrális egyszerű algebrát $ K$ fölött. Ekkor van olyan $ L$ véges Galois-bővítés ($ K\leq L$), melyhez létezik $ f\colon M_n(L)\overset{\sim}{\to} A\otimes_K L$ izomorfizmus. Vegyük észre, hogy ez a — nemkanonikus — azonosítás (általában) nem $ G=\operatorname{Gal}(L/K)$-ekvivariáns a két oldalon levő $ G$-hatásra nézve! Ugyanis $ A\otimes_K L$-ben a $ G$-invariáns rész épp $ A\otimes 1$, az $ M_n(L)$ teljes mátrixgyűrűben viszont $ M_n(K)$ — melyek nemizomorfak, hacsak $ A$ nem hasad már $ K$ fölött is. Éppen a $ G$-ekvivarianciának ez a hiánya definiál egy $ f_A\colon G\to \operatorname{Aut}(M_n(L))$ keresztezett homomorfizmust: Ha van egy $ g\in G$ elemünk, akkor megnézhetjük, mennyiben tér el a $ g$-hatás a két oldalon: az

$\displaystyle f_A(g)\colon M_n(L)\overset{g^{-1}}{\to} M_n(L)\overset{f}{\to} A...
...set{\operatorname{id}\otimes g}{\to} A\otimes_K L\overset{f^{-1}}{\to} M_n(L)
$

izomorfizmus már $ L$-lineáris lesz, azaz egy automorfizmusát adja $ M_n(L)$-nek. Node $ M_n(L)$ minden automorfizmusa belső, azaz $ \operatorname{Aut}(M_n(L))\cong \operatorname{GL}_n(L)/Z(\operatorname{GL}_n(L))=\operatorname{PGL}_n(L)$, ahol $ \operatorname{GL}_n(L)$ az $ n$-edfokú általános lineáris csoportot jelöli (tehát az $ n\times n$-es $ L$-beli együtthatós invertálható mátrixok csoportját), $ Z(\operatorname{GL}_n(L))$ pedig ennek a centrumát, azaz a skalármátrixok részcsoportját. A technikai probléma itt az, hogy mivel $ \operatorname{PGL}_n(L)$ nem kommutatív, a $ G\to \operatorname{PGL}_n(L)$ keresztezett homomorfizmusok nem alkotnak csoportot! Viszont ekvivalenciarelációt megadhatunk rajtuk: két keresztezett homomorfizmus ekvivalens, ha egy principális keresztezett homomorfizmusban térnek el. Az ekvivalenciaosztályok csak egy halmazt alkotnak, amin az egyetlen struktúra, hogy van egy kitüntetett eleme: jelesül a triviális keresztezett homomorfizmus osztálya. Ha $ CSA_L(n)$-nel jelöljük azon $ K$ feletti $ n$ fokú centrális egyszerű algebrák izomorfiaosztályait, melyek $ L$ fölött trivializálódnak, akkor a fenti megfeleltetés megad egy $ CSA_L(n)\leftrightarrow H^1(G,\operatorname{PGL}_n(L))$ pontozott terek közti bijekciót. (Itt $ CSA_L(n)$-ben a kitüntetett elem az $ M_n(K)$ mátrixgyűrű osztálya.)

Viszont mi nemcsak azon centrális algebrákat szeretnénk osztályozni, melyeket egy konkrét $ L$ bővítés felhasít, sőt az $ n$ fokot sem szeretnénk rögzíteni. Továbbá szeretnénk az $ M_n(K)$ mátrixgyűrűt minden $ n$-re triviálisnak tekinteni. A cél az, hogy egy (Abel-)csoport klasszifikálja ezeket az objektumokat. A természetes művelet a centrális egyszerű algebrákon a $ K$ feletti tenzorszorzás, melyre nézve a centrális egyszerű algebrák izomorfiaosztályai egy $ \widetilde{CSA/K}$ kommutatív egységelemes félcsoportot alkotnak. Az $ A$ és $ B$ centrális egyszerű algebrákat Brauer-ekvivalensnek hívjuk, ha van olyan $ n$, illetve $ n'$ pozitív egész, melyekre $ A\otimes_K M_n(K)$ izomorf $ B\otimes_K M_{n'}(K)$-val. A $ \operatorname{Br}(K)$ csoportot a $ K$ fölötti centrális egyszerű algebrák ekvivalenciosztályai alkotják a tenzorszorzásra nézve. Ezt nevezzük a $ K$ test (abszolút) Brauer-csoportjának, mely rendelkezik azzal az „univerzális” tulajdonsággal, hogy $ \widetilde{CSA/K}$ minden Abel-csoportba képező félcsoporthomomorfizmusa, mely az $ M_n(K)$ mátrixgyűrűket az egységelembe küldi, átfaktorizálódik $ \operatorname{Br}(K)$-n. Az olvasóban felmerülhet a kérdés, miért lesz $ \operatorname{Br}(K)$ csoport: miért van inverz? Ezt viszonylag könnyű látni: egy $ A$ centrális egyszerű algebra Brauer-osztályának az inverze az $ A^\circ$ oppozit algebra lesz (az az algebra, ami az összeadásra nézve ugyanaz az Abel csoport, mint $ A$, de a szorzást „fordítva” értelmezzük, azaz $ a$ és $ b$ szorzata $ A^\circ$-ben $ ba$ lesz). Ennek az az oka, hogy $ A$ hat saját magán a bal- és a jobb szorzással is, ami megad egy $ A\otimes_K A^\circ\to \operatorname{End}_K(A)\cong M_{n^2}(K)$ gyűrűhomomorfizmust — ez pedig dimenzióokokból bijektív.

A Brauer-csoport kohomologikus interpretációjához a következő módon juthatunk el. Ha $ G_K:=\operatorname{Gal}(\overline{K}/K)$ jelöli a $ K$ test abszolút Galois-csoportját5, akkor

$\displaystyle \operatorname{Br}(K)\cong H^1(G_K,\operatorname{PGL}_\infty(\overline{K}))= \bigcup_{L,n} H^1(\operatorname{Gal}(L/K),\operatorname{PGL}_n(L)).
$

A jobb oldalon álló kohomológiateret — ami a priori csak egy pontozott halmaz, nincs rajta csoportstruktúra — vagy a $ G_K$ provéges csoport folytonos $ 1$-kociklusainak ekvivalenciaosztályaiként, vagy felszálló unióként interpretálhatjuk. A kommutatív együtthatós kohomológiacsoportokkal ellentétben nemkommutatív együtthatókkal csak az alacsony fokú kohomológiákat tudjuk definiálni, ráadásul, azok sem alkotnak csoportot, csak pontozott teret. Ugyanakkor — ameddig definiálva van, addig — létezik egy kohomologikus hosszú egzakt sorozat is nemkommutatív együtthatókkal. Ahhoz, hogy ezt értelmezni tudjuk, meg kell mondanunk, mit értünk pontozott terek egy

$\displaystyle (X,x_0)\overset{f}{\to} (Y,y_0)\overset{g}{\to} (Z,z_0)
$

sorozatának egzaktságán. Ezt a lehető legnaivabb módon definiáljuk: az $ Y$-nál való egzaktság azt jelenti, hogy egy $ y\in Y$-ra $ g(y)=z_0$ (azaz $ y$ benne van $ g$ magjában) akkor és csak akkor, ha van olyan $ x\in X$, amire $ f(x)=y$ (azaz $ y$ benne van $ f$ képében). Vegyük észre, hogy a mag trivialitásából — csoportok közti leképezésekkel ellentétben — még nem következik, hogy a leképezés injektív. Az $ 1\to A\to B\to C\to 1$ rövid egzakt sorozathoz akkor tartozik kohomologikus hosszú egzakt sorozat, ha $ A$ benne van $ B$ centrumában (speciálisan $ A$ kommutatív). Viszont a

$\displaystyle 1\to \overline{K}^\times\to \operatorname{GL}_n(\overline{K})\to \operatorname{PGL}_n(\overline{K})\to 1
$

rövid egzakt sorozat valóban teljesíti ezt a feltételt, és a hozzá tartozó $ G_K$-kohomológiák hosszú egzakt sorozata az

\begin{multline*}
1\to K^\times \to \operatorname{GL}_n(K)\to \operatorname{PGL...
...ratorname{PGL}_n(\overline{K}))\to H^2(G_K,\overline{K}^\times)
\end{multline*}

alakot ölti. Így $ n$-nel tartva a végtelenbe és felszálló uniót véve kapunk egy

$\displaystyle H^1(G_K,\operatorname{PGL}_\infty(\overline{K}))\overset{\delta}{\to} H^2(G_K,\overline{K}^\times)
$

leképezést, melyről megmutatható6, hogy bijektív. Ebben a bijekcióban az a szerencsés, hogy mivel $ \overline{K}^\times$ kommutatív, ezért a jobb oldal Abel-csoport. Továbbá a $ \operatorname{Br}(K)\to H^1(G_K,\operatorname{PGL}_\infty(\overline{K}))\to H^2(G_K,\overline{K}^\times)$ bijekció csoportizomorfizmus!

4. Ciklikus algebrák és a Merkurjev—Szuszlin-tétel

Szamuely Tamás és Philippe Gille könyvének (egyik) fő tétele (mely Merkurjev és Szuszlin nevéhez fűződik7) egyfajta struktúratétel centrális egyszerű algebrákra. Kimondásához szükségünk lesz az ún. ciklikus algebrák fogalmára, melyek speciális centrális egyszerű algebrák, bizonyos szempontból a kvaternióalgebrák magasabb dimenziós közvetlen általánosításai. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a $ K$ alaptest tartalmaz egy $ \omega$ primitív $ n$-edik egységgyököt valamilyen $ n$-re. Ekkor az $ a,b\in K^\times$ konstansokkal definiált $ n$-edfokú $ (a,b)_\omega$ ciklikus algebrát az

$\displaystyle \langle x,y\mid x^n=a,\quad y^n=b,\quad xy=\omega yx\rangle
$

prezentációval adhatjuk meg. Valóban, a kvaternióalgebrák ennek speciális esetei $ n=2$ és $ \omega=-1$ választással. Amennyiben $ K$ nem tartalmaz primitív $ n$-edik egységgyököt, akkor olyan $ L/K$ bővítést kell választanunk ($ a$ helyett), melynek a Galois-csoportja $ n$-edrendű ciklikus csoport valamely $ \sigma$ generátorral, a ciklikus algebránk pedig az $ L[y,\sigma]$ algebra azokkal a relációkkal, hogy $ y^n=b$, és $ y$ nem felcserélhető $ L$ elemeivel: jelesül az $ y$-nal való konjugálás $ L$-en épp a $ \sigma$ testautomorfizmus.

Tétel. (Merkurjev—Szuszlin) Tegyük fel, hogy $ K$-ban van egy $ \omega$ primitív $ n$-edik egységgyök, és $ A$ egy centrális egyszerű $ K$-algebra úgy, hogy $ A$ Brauer-csoportbeli osztályának rendje (azaz $ A$ periódusa) osztja $ n$-et. Ekkor $ A$ Brauer-ekvivalens néhány $ n$-edfokú ciklikus algebra


$\displaystyle (a_1,b_1)_\omega\otimes_K\cdots \otimes_K (a_r,b_r)_\omega$ (3)

tenzorszorzatával.

A fenti tétel következménye, hogy (legalábbis 0 karakterisztikában) minden centrális egyszerű algebra felhasad egy alkalmas feloldható Galois-bővítés felett (azaz olyan Galois bővítés felett, melynek Galois-csoportja feloldható). Ehhez először azt kell látnunk, hogy $ \operatorname{Br}(K)$ torziócsoport: nincs benne végtelen rendű elem. Ugyanis ha $ A\cong M_n(D)$ centrális egyszerű algebra, ahol $ D$ foka $ m$ (ezt a számot hívjuk $ A$ indexének), akkor megmutatható, hogy $ A$ $ m$-edik tenzorhatványa felhasad, azaz $ A$ periódusa osztója az indexének. Tehát ha $ A$ $ n$ indexű centrális egyszerű algebra, akkor a $ K(\omega)$ bővítés fölött (ahol $ \omega$ primitív $ n$-edik egységgyök) $ A\otimes_K K(\omega)$ Brauer-ekvivalens lesz egy ([5]) alakú algebrával, ami pedig a $ K(\omega,\sqrt[n]{a_1},\dots,\sqrt[n]{a_r})$ bővítés fölött hasad, így persze $ A$ is. A $ \operatorname{Gal}(K(\omega,\sqrt[n]{a_1},\dots,\sqrt[n]{a_r})/K)$ Galois csoport viszont feloldható. Megjegyezzük, hogy erre a — viszonylag elemien megfogalmazható — következményre nem ismert elemi bizonyítás.

A Merkurjev—Szuszlin-tétel bizonyítása nagyon mély eszközöket használ: algebrai geometriai-, és algebrai $ K$-elméleti technikákat is, melyeket Szamuely és Gille — sokszor az eredeti forrástól eltérő módon — felépítenek a könyvben. Az első lépésként ugyanakkor az alábbiakban vázoljuk a kapcsolatot a 2. fejezetben a feloldható bővítésekre alkalmazott Kummer-elmélettel. Ha a ([2]) sorozatban az $ L$ bővítés helyére a $ \overline{K}$ algebrai lezártat írjuk (és feltesszük, hogy $ K$-ban van primitív $ n$-edik egységgyök), akkor a $ G_K$-kohomológiák hosszú egzakt sorozata az

\begin{multline*}
1\to \mu_n\to K^\times\overset{\cdot^n}{\to} K^\times\to H^1(...
...e{K}^\times)\overset{\cdot^n}{\to} H^2(G_K,\overline{K}^\times)
\end{multline*}

alakot ölti. Hilbert 90-es tételét újfent alkalmazva a $ H^1(G_K,\overline{K}^\times)$ csoport triviális, ezért $ H^2(G_K,\mu_n)$ megegyezik a $ H^2(G_K,\overline{K}^\times)\cong \operatorname{Br}(K)$ Brauer-csoporton az $ n$-edik hatványra emelés magjával, tehát az $ n$-et osztó rendű elemek részcsoportjával. A Merkurjev-Szuszlin tétel pont ezekről szól: olyan centrális egyszerű algebrákról, melyek Brauer osztálya ebben a részcsoportban van. Tehát míg a $ H^1(G_K,\mu_n)$ csoport explicit megadása viszonylag elemi, a $ H^2(G_K,\mu_n)$ leírásához a Merkurjev—Szuszlin tétel szükséges.

5. Alkalmazások és kapcsolatok más területekkel

A Brauer-csoportnak létezik egy harmadik, geometriai interpretációja is. Vegyünk először egy $ (a,b)$ kvaternióalgebrát a ($ 2$-től különböző karakterisztikájú) $ K$ test fölött. Láttuk, hogy $ (a,b)$ felhasad (legalább) két másodfokú bővítés fölött: akár $ a$, akár $ b$ négyzetgyökét elegendő adjungálni $ K$-hoz. Hogy lehetne ezt egy ennél uniformabb módon megfogalmazni? Tekintsük a $ \mathbb{P}^2$ projektív síkon a $ C(a,b)\colon ax^2+by^2=z^2$ homogén koordinátákkal megadott görbét. Az alapvető észrevétel a következő: $ C(a,b)$-nek pontosan akkor van $ K$ felett pontja (azaz $ C(a,b)(K)\neq\emptyset$), ha az $ (a,b)$ centrális egyszerű algebra $ M_2(K)$-val izomorf. Sőt, ha $ L$ egy tetszőleges bővítése $ K$-nak, akkor $ C(a,b)(L)\neq\emptyset$ ekvivalens azzal, hogy $ L$ felhasítja $ (a,b)$-t. Továbbá algebrailag zárt test fölött $ C(a,b)$ a $ \mathbb{P}^1$ projektív egyenessel izomorf. Általában Severi—Brauer-varietásnak nevezzük az $ X$ algebrai varietást a $ K$ test fölött, ha $ X$ valamilyen $ n$-re az $ n$-dimenziós projektív tér egy csavart formája, azaz $ X(\overline{K})\cong \mathbb{P}^n(\overline{K})$. Mivel $ \mathbb{P}^n(\overline{K})$ automorfizmuscsoportja $ \operatorname{PGL}_{n+1}(\overline{K})$ — akárcsak $ M_{n+1}(\overline{K})$-nak —, ezért az $ n$-dimenziós Severi—Brauer-varietásokat ugyanaz a kohomológiacsoport klasszifikálja, mint az $ n+1$-edfokú centrális egyszerű algebrákat. Ez az észrevétel rendkívül fontos szerepet játszik a Merkurjev—Szuszlin-tétel bizonyításában, és általában a centrális egyszerű algebrák elméletében, hiszen ezen keresztül geometriai módszerek is alkalmazhatók.

A Brauer-csoport alapvető fontosságú az algebrai számelméletben is, azon belül az osztálytestelméletben. Az osztálytestelmélet fő célja általános reciprocitási tételek igazolása. Ezen kapcsolat megértéséhez vegyünk $ \mathbb{Q}$ felett egy $ (a,b)$ kvaternióalgebrát. Ez pontosan akkor hasad, ha $ C(a,b)(\mathbb{Q})\neq\emptyset$. Mivel ez egy homogén másodfokú egyenlet, alkalmazhatjuk a Hasse—Minkowski-tételt, mely szerint a $ C(a,b)(\mathbb{Q})\neq\emptyset$ pontosan akkor, ha $ C(a,b)(\mathbb{R})\neq\emptyset$, és minden $ \ell$ prímszámra $ C(a,b)(\mathbb{Q}_\ell)\neq\emptyset$. Másszóval az $ (a,b)$ kvaternióalgebra pontosan akkor hasad $ \mathbb{Q}$ fölött, ha hasad $ \mathbb{Q}_\ell$ fölött minden $ \ell$-re (beleértve az $ \ell=\infty$-t is, melyre $ \mathbb{Q}_\infty:=\mathbb{R}$). Utóbbi nemcsak kvaternióalgebrákra igaz, hanem tetszőleges centrális egyszerű algebrára: tehát ez esetben teljesül a Hasse-féle lokális—globális elv. A kohomológiacsoportok nyelvén ez annyit tesz, hogy a

$\displaystyle \operatorname{Br}(\mathbb{Q})\to \bigoplus_{\ell\leq \infty~\operatorname{prim}}\operatorname{Br}(\mathbb{Q}_\ell)
$

természetes leképezés injektív. Ahhoz, hogy $ \operatorname{Br}(\mathbb{Q})$ képét megértsük, meg kell határoznunk először a lokális testek Brauer-csoportját. Megmutatható8, hogy amennyiben $ \ell$ véges, akkor $ \operatorname{Br}(\mathbb{Q}_\ell)\cong H^2(G_{\mathbb{Q}_\ell},\overline{\mathbb{Q}_\ell}^\times)\cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, illetve az $ \ell=\infty$ esetben $ \operatorname{Br}(\mathbb{R})\cong H^2(G_\mathbb{R},\mathbb{C}^\times)\cong \frac{1}{2}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ másodrendű ciklikus csoport9. Ez az azonosítás kanonikus (nem függ semmilyen választástól): adott $ \mathbb{Q}_\ell$ feletti centrális egyszerű algebrához tartozó $ \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$-beli elemet az algebra Hasse-invariánsának nevezünk. Továbbá vegyünk minden $ \ell$ prímre egy $ a_\ell\in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$-beli (és $ \ell=\infty$-re egy $ a_\infty\in \frac{1}{2}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$-beli) elemet úgy, hogy véges sok kivétellel mindegyik 0 legyen. Pontosan akkor létezik olyan $ \mathbb{Q}$ feletti centrális egyszerű algebra, melynek lokális Hasse-invariánsai az $ a_\ell$ számok, ha ezen számok összege 0. Másszóval a


$\displaystyle 0\to \operatorname{Br}(\mathbb{Q})\to \bigoplus_{\ell\leq \infty~...
...\operatorname{Br}(\mathbb{Q}_\ell)\overset{\sum}{\to}\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\to 0$ (4)

sorozat egzakt. Ez hasonló mélységű eredmény, mint maga az osztálytest-elmélet: a $ \mathbb{Q}$ véges bővítéseire vonatkozó általánosításaiból következnek a főbb reciprocitási tételek. Ennek illusztrálásaként megmutatjuk a Gauss-féle kvadratikus reciprocitási tételt. Mivel $ \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$-ben egyetlen másodrendű elem van (jelesül az $ 1/2$ mellékosztálya), a Brauer-csoport $ 2$-torziójában minden esetben egyetlen nemtriviális elem van lokálisan, mégpedig $ \ell=\infty$ esetén $ \mathbb{H}$, páratlan $ \ell$ esetén az $ (\ell,u)$ kvaternióalgebra, ahol $ u$ kvadratikus nemmaradék modulo $ \ell$, $ \ell=2$ esetén pedig (ugyancsak) a $ (-1,-1)$ kvaternióalgebra osztálya.10 Tehát a ([4]) sorozat egzaktsága a $ 2$-torzióra nézve azt jelenti, hogy minden $ \mathbb{Q}$ feletti kvaternióalgebra páros sok $ \ell\leq \infty$ esetén nem hasad lokálisan $ \ell$-nél (hiszen páros sok $ 1/2$ összege van $ \mathbb{Z}$-ben, páratlan soké nem). Namármost, ha $ p\neq q$ páratlan prímek, akkor a $ (p,q)_\mathbb{Q}$ kvaternióalgebra hasad $ \mathbb{R}$ felett (hiszen $ p$ és $ q$ pozitívak), és minden $ \ell\neq 2$ $ p$-től és $ q$-tól különböző prímre $ \mathbb{Q}_\ell$ felett is.11 Továbbá $ \mathbb{Q}_p$ (ill.  $ \mathbb{Q}_q$) fölött pontosan akkor hasad $ (p,q)$, ha $ q$ (ill. $ p$) kvadratikus maradék $ \bmod~p$ (ill. $ \bmod~q$), azaz ha $ \left(\frac{q}{p}\right)=1$ (ill. ha $ \left(\frac{p}{q}\right)=1$). $ \mathbb{Q}_2$ fölött pedig pontosan akkor hasad, ha $ p\equiv q\equiv -1\pmod{4}$ nem teljesül, azaz ha $ (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}=1$. Ezt összegezve adódik a jól ismert

$\displaystyle \left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right)(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}=1
$

kvadratikus reciprocitási tétel.

Nem meglepő, hogy ha a Brauer-csoport $ 2$-torziója helyett $ n$-torzióját vizsgáljuk, magasabb fokú reciprocitási tételeket kapunk: Legyen most $ K$ tetszőleges test, mely valamely $ n\geq 2$-re tartalmaz egy $ \omega$ primitív $ n$-edik egységgyököt. Az $ (a,b)_\omega$ ciklikus algebra Hasse-invariánsa $ n$-edrendű elem $ \operatorname{Br}(K)\cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$-ben. Ez megad egy


$\displaystyle (\cdot,\cdot)\colon K^\times/(K^\times)^n\times K^\times/(K^\times)^n\to H^2(G_K,\mu_n)\cong \operatorname{Br}(K)[n]$ (5)

alternáló bilineáris leképezést. Ráadásul az $ (a,b)$ ún. Galois-szimbólum értéke pontosan akkor $ 1$, ha az $ (a,b)_\omega$ ciklikus algebra hasad. Ezt az $ a,b\in K$ elemekre lefordítva azt kapjuk, hogy $ b$ pontosan akkor áll elő normaként a $ K(\sqrt[n]{a})/K$ bővítésben, ha $ a$ előáll normaként a $ K(\sqrt[n]{b})$ bővítésben — ez is egy reciprocitási tétel. Amennyiben $ K$ az $ \ell$-adikus számok $ \mathbb{Q}_\ell$ testének egy véges bővítése (azaz egy nemarkhimédészi lokális test), akkor ennél többet is mondhatunk, mert a $ H^2(G_K,\mu_n)$ csoportot azonosíthatjuk az $ \frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ ciklikus csoporttal. Ez esetben az ([5]) bilineáris forma nemelfajuló, melyet Hilbert-szimbólumnak neveznek. Vegyük észre, hogy ([5]) függ $ \omega$ választásától, viszont ha $ H^2(G_K,\mu_n)\cong\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$-t azonosítjuk $ \mu_n$-nel úgy, hogy $ 1/n$-et $ \omega$-ba küldjük, akkor $ \mu_n$-értékű bilineáris leképezésként már lokális testek esetén a Hilbert-szimbólum nem függ semmilyen választástól.

A Merkurjev—Szuszlin-tételt ebben a kontextusban úgy is megfogalmazhatjuk, hogy az ([5]) bilineáris leképezés képtere generálja $ H^2(G_K,\mu_n)$-et, hiszen a képtér elemei éppen a ciklikus algebrák Brauer-osztályai, az összeadás a kohomológiacsoporton pedig az algebrák tenzorszorzatának felel meg. Vagy még elegánsabban: ([5]) indukál egy

$\displaystyle h^2_{K,n}\colon K^\times/(K^\times)^n\otimes_\mathbb{Z} K^\times/(K^\times)^n\to H^2(G_K,\mu_n)
$

csoporthomomorfizmust, és a Merkurjev—Szuszlin-tétel állítása nem más, mint $ h^2_{K,n}$ szürjektivitása. Ennek messzemenő általánosítása az ún. motivikus Bloch—Kato-sejtés (Vojevodszkij12 tétele a 2000-es évekből), mely szerint az analóg

$\displaystyle h^i_{K,n}\colon \underbrace{K^\times/(K^\times)^n\otimes_{\mathbb{Z}}\cdots\otimes_{\mathbb{Z}} K^\times/(K^\times)^n}_i\to H^i(G_K,\mu_n)
$

leképezés szürjektív minden $ n$-re és $ i$-re. Vojevodszkij már korábban, 2002-ben megkapta az egyik legnagyobb matematikai elismerésnek számító Fields-érmet a Milnor-sejtés bizonyításáért, mely az $ n=2$ speciális esete a Bloch—Kato-sejtésnek. Vojevodszkij ezekhez a Merkurjev—Szuszlin-tétel (mely az $ i=2$ eset) igazolásához szükséges technikákat is használ, az általa kifejlesztett „motivikus” módszereken kívül.

Zábrádi Gergely

Zábrádi Gergely az ELTE-n végzett 2005-ben, Cambridge-ben doktorált matematikából John Coates témavezetésével. Posztdoktorként Németországban volt, 2010 óta adjunktus az ELTE Algebra és Számelmélet tanszékén. 2018-ban  Gács András díjat kapott.

 

 

Lábjegyzetek

1A tenzorszorzatot úgy képzelhetjük el, mint a bilineáris leképezések klasszifikáló terét: ez $ x\otimes y$ alakú elemi tenzorok formális lineáris kombinációiból áll, melyek a szokásos „bilinearitási” relációkat teljesítik. Ha mindkét szorzandó $ K$-algebra, akkor a tenzorszorzat is az lesz: egy $ x_1\otimes y_1$ és egy $ x_2\otimes y_2$ elemi tenzor szorzata az $ x_1x_2\otimes y_1y_2$ elemi tenzor lesz.
2 Tehát az $ L$ test azon automorfizmusainak (önmagával való művelettartó bijekcióinak) a csoportja, melyek $ K$ elemeit pontonként fixálják.
3 Egy (Abel) csoportokból álló sorozatot egzaktnak hívunk, ha bármely két egymást követő homomorfizmus esetén az első képe megegyezik a második magjával. Pl. az $ 1\to A\overset{f}{\to} B$ sorozat pontosan akkor egzakt, ha $ f$ injektív.
4 Lásd akár itt: https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_Theorem_90.
5 Itt $ \overline{K}$ az algebrai lezártat jelöli, és feltesszük, hogy a $ K$ test tökéletes. Ha $ K$ nem tökéletes, akkor az algebrai lezárt helyett a $ K^{\mathrm{sep}}$ szeparábilis lezártat kell venni.
6 Az injektivitás Hilbert $ 90$-es tétele $ \operatorname{GL}_n$-re, miszerint $ H^1(\operatorname{Gal}(L/K),\operatorname{GL}_n(L))=\{1\}$. Persze ehhez be kell azt is látni, hogy $ \delta$ csoporthomomorfizmus a $ \operatorname{Br}(K)$-ból örökölt csoportstruktúrában, hiszen enélkül a mag trivialitásából még nem következne az injektivitás. A szürjektivitáshoz viszont dolgozni kell.
7 A. S. Merkurjev, A. A. Suslin: K-Cohomology of Severi-Brauer varieties and the norm residue homomorphism, Izvestiya: Mathematics 21.2 (1983): 307—340.
8 Létezik tisztán kohomologikus érvelés is, de az egyik legelegánsabb bizonyítás centrális egyszerű algebrákon keresztül adható: a kulcs annak igazolása, hogy minden centrális egyszerű algebra felhasad egy alkalmas — az algebrától függő — elágazásmentes bővítés fölött.
9 Ez nem más, mint Frobenius tétele, mely szerint $ \mathbb{R}$-en, $ \mathbb{C}$-n és $ \mathbb{H}$-n kívül nincs további nullosztómentes végesdimenziós $ \mathbb{R}$-algebra. Itt $ \mathbb{C}$-nek a centruma nem $ \mathbb{R}$, ezért a Brauer-csoportban az egyetlen nemtriviális elem $ \mathbb{H}$ osztálya.
10 Ezen kvaternióalgebrák valóban nem hasadnak, ugyanis ha $ \ell\neq 2$ prím, akkor az $ \ell x^2+uy^2=z^2$ egyenletnek már modulo $ \ell$ sincs nemtriviális megoldása, ill. az $ -x^2-y^2=z^2$ egyenletnek nincs $ \bmod~4$ nemtriviális megoldása.
11 Ugyanis $ \ell\nmid p$ és $ \ell\nmid q$ miatt modulo $ \ell$ pontosan $ \frac{\ell+1}{2}$ darab elem áll elő $ px^2$ alakban és $ 1-qy^2$ alakban is, ezért ezen két halmaznak van egy nemüres metszete modulo $ \ell$, azaz van olyan $ x,y\in\mathbb{F}_\ell$, melyre $ px^2+qy^2=1$. Ezt a modulo $ \ell$ megoldást pedig a Hensel-lemma miatt fel lehet emelni egy $ \ell$-adikus megoldássá, ha $ \ell\neq 2$.
12 azaz angol írásmóddal Voevodsky, 2017 őszén fiatalon elhunyt orosz/amerikai matematikus
13 Ezt a leképezést valójában a kohomológiákon való csészeszorzás indukálja, mivel $ K^\times/(K^\times)^n$ azonosítható $ H^1(G_K,\mu_n)$-nel. Amennyiben $ K$ nem tartalmaz primitív $ n$-edik egységgyököt (de karakterisztikája nem osztja $ n$-et), akkor a jobb oldalon $ H^i(G_K,\mu_n^{\otimes i})$-t kell venni $ H^i(G_K,\mu_n)$ helyett.