Hermitikus mátrixok összegeinek sajátértékei és a méhkaptár-modell

Ebben az írásban egy rövid bevezetést szeretnék adni azokhoz a fogalmakhoz és állításokhoz, amelyek a méhkaptár-modell felhasználásával a Horn-sejtés egy bizonyításához vezetnek. Az 1. tételben megadjuk a hermitikus mátrixok és összegmátrixuk sajátértékei közötti kapcsolat átfogalmazását egy síkbeli problémára, a méhkaptár-modellre.

1912-ben Hermann Weyl fogalmazta meg a következő kérdést: Legyen $A$ és $B$ két $n \times n$ -es hermitikus mátrix. Hogyan lehet az $A+B$ összeg összes lehetséges sajátértékeinek halmazát meghatározni az $A$ és $B$ sajátértékeinek ismeretében?

Ha $n=1$ , akkor az $A+B$ mátrix sajátértéke az $A$ és a $B$ mátrix sajátértékeinek összege. Jelöljük egy $(n \times n)$ -es hermitikus mátrix sajátértékeit valós számok egy monoton csökkenő $n$ -esével, $\lambda=( \lambda_1 \ge \dots \ge \lambda_n )$ -nel. Például a $\operatorname{diag}(3,2,5,3)$ sajátértékeket $(5,3,3,2)$ -vel. Az $A$ , $B$ és $A+B$ mátrix sajátértékeit pedig rendre a $\lambda$ , $\mu$ és $\nu$ $n$ -esekkel, így $\lambda_2$ a második legnagyobb sajátértéke $A$ -nak, stb. Könnyen kaphatunk szükséges feltételeket a $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ hármasra. Például: az $A+B$ mátrix nyoma egyenlő az $A$ és a $B$ mátrix nyomainak összegével, így kapjuk azt a feltételt, hogy

$\displaystyle \nu_1 + \dots + \nu_n= \lambda_1 + \dots + \lambda_n + \mu_1 + \dots + \mu_n.$

(1)

Egy másik feltétel az, hogy

$\displaystyle \nu_1 \le \lambda_1 + \mu_1,$

(2)

mivel az $A+B$ mátrix legnagyobb sajátértéke legfeljebb annyi, mint az $A$ és $B$ mátrixok legnagyobb sajátértékeinek az összege. Hasonló szükséges feltételeket, mint például

$\displaystyle \nu_{i+j+1} \le \lambda_{i+1}+ \mu_{j+1}, \quad 0 \le i,j,i+j <n,$

(3)

Weyl bizonyított. Ha $n=1,2$ , akkor a fenti feltételek szükségesek és elégségesek. Például ha az $A$ és a $B$ mátrixok sajátértékei $(3,0)$ és $(5,0)$ , akkor az $A+B$ mátrix sajátértékei a $(8-a,a)$ , $0 \le a \le 3$ , párok lesznek, de nem lehet például a $(9,-1)$ , $(7,0)$ , $(4,4)$ .

Magasabb dimenzióban más szükséges feltételek is vannak. Ezek mindegyike homogén lineáris egyenlőtlenség, és általánosan a minimax módszerrel vannak bebizonyítva. Ez a módszer azonban nem ad egy általános sémát, amellyel ezen egyenlőtlenségek egy szisztematikus és teljes listáját megkaphatnánk.

Alfred Horn 1962-ben megmutatta, hogy a szükséges feltételek egy teljes listája megadható az (1) által és a

$\displaystyle \nu_{k_1}+ \dots + \nu_{k_r} \le \lambda_{i_1}+ \dots + \lambda_{i_r}+\mu_{j_1} + \dots + \mu_{j_r}$

formájú lineáris egyenlőtlenségek egy listája által, ahol $1 \le r <n$ és az összes $1 \le i_1 < \dots <i_r \le n$ , $1 \le j_1 < \dots <j_r \le n$ , $1 \le k_1 < \dots <k_r \le n$ indexhármast egy bizonyos $T_{r,n}$ véges halmazból választjuk. A probléma ezután a hármasok $T_{r,n}$ halmazainak a leírására redukálódott. Horn meghatározta ezt a $T_{r,n}$ halmazt $n \le 8$ esetén és az általános esetben megmutatta, hogy az $i_1, \dots, k_r$ indexekre teljesül a nyomfeltétel

$\displaystyle i_1 + \dots + i_r + j_1 + \dots + j_r= k_1 + \dots + k_r + r(r+1)/2$

(4)

és olyan lineáris egyenlőtlenségek, mint például $i_1 + j_1 \le k_1 + 1$ . Ez vezetett a Horn sejtéshez (lásd: [2]):

Horn-sejtés: A $T_{r,n}$ halmaz megegyezik az összes $1 \le i_1 < \dots <i_r \le n$ , $1 \le j_1 < \dots <j_r \le n$ , $1 \le k_1 < \dots <k_r \le n$ indexek halmazával, amely teljesíti (4)-et és

$\displaystyle i_{a_1}+ \dots + i_{a_s}+j_{b_1} + \dots + j_{b_s} \ge k_{c_1} + \dots + k_{c_s}+ s(s+1)/2-t$

minden $1 \le s <r$ -re és minden $T_{s,r}$ -beli $1 \le a_1 < \dots <a_s \le r$ , $1 \le b_1 < \dots <b_s \le r$ , $1 \le c_1 < \dots <c_s \le r$ indexhármasokra.

Ez a sejtés egy rekurzív algoritmust adna a $T_{r,n}$ halmazok generálására a korábbi $T_{s,r}$ generátorok segítségével és így a Weyl-problémának egy teljes megoldásához vezetne minden dimenzióban. A Weyl-probléma újrafogalmazására a méhkaptár-modellt használva, és a Horn-sejtés egy bizonyítására 1999-ben A. Knutson és T. Tao [4] cikkében került sor.

Most definiálni fogjuk a méhkaptárt és megadjuk a kapcsolatát Weyl feladatával. Az $n=1$ esetben a szükséges és elegendő feltételek halmaza $\lambda, \mu, \nu$ -re, hogy $\lambda + \mu= \nu$ . Ennek az esetnek az analógiájára definiáljuk a

$\displaystyle \lambda \oplus \mu \sim_c \nu$

(5)

relációt, amely akkor áll fenn ha léteznek $A$ , $B$ , $C$ hermitikus mátrixok $\lambda, \mu, \nu$ sajátértékekkel úgy, hogy $A+B=C$ . Így a Weyl-probléma az (5) megoldáshalmazának a meghatározása. Azt mondjuk, hogy a

$\displaystyle \lambda \oplus \mu \oplus \nu \sim_c 0$

(6)

reláció teljesül, ha léteznek $A$ , $B$ , $C$ hermitikus mátrixok $\lambda, \mu, \nu$ sajátértékekkel úgy, hogy $A+B+C=0$ .

$\displaystyle \lambda \oplus \mu \sim_c \nu \leftrightarrow \lambda \oplus \mu \oplus (-\nu) \sim_c 0,$

ahol $-\nu:=(- \nu_{n}, \dots, - \nu_1)$ . Ezért a Weyl-probléma megoldásához elégséges meghatározni az olyan $\lambda, \mu, \nu$ hármasok halmazát, amelyek teljesítik (6)-ot. A (6) előnye, hogy $S_3$ szimmetriájú $(\lambda, \mu, \nu )$ -ben, míg az (5) $S_2$ szimmetriájú $(\lambda, \mu )$ -ben. $n=1$ esetén $\lambda \oplus \mu \oplus \nu \sim_c 0 \leftrightarrow \lambda + \mu + \nu = 0$ . Magasabb dimenzióban

$\displaystyle \lambda_{1}+ \dots + \lambda_{n}+\mu_{1} + \dots + \mu_{n}+ \nu_{1}+ \dots + \nu_{n}= 0$

analóg (1)-gyel, a (2) analógja pedig

$\displaystyle \lambda_{1}+ \mu_{1} + \nu_{n} \ge 0.$

Ezen relációkra alapozva vezessük be az $\mathbb{R}^3_{\Sigma =0}:=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x+y+z=0 \}$ síkot. Ezt a síkot a $(0,1,-1)$ , $(-1,1,0)$ , $(-1,0,1)$ , $(0,-1,1)$ , $(1,-1,0)$ , $(1,0,-1)$ vektorok generálják, ezeket kardinális irányoknak nevezzük. Ezt a síkot ábrázolhatjuk úgy, hogy a felsorolt vektoroknak megfeleltetjük $\mathbb{R}^2$ -ben rendre az észak-nyugati, északi, észak-keleti, dél-keleti, déli, dél-nyugati irányokat úgy, hogy az észak-nyugati és észak-keleti irányok illetve a dél-keleti és dél-nyugati irányok $60^{\circ}$ -os szöget zárnak be az északi illetve a déli iránnyal, nem pedig $45^{\circ}$ -t. Diagramnak nevezünk olyan $\mathbb{R}^3_{\Sigma =0}$ -beli intervallumokból (lehet egyik irányban végtelen intervallum) álló konfigurációt, amelynek minden éle párhuzamos a kardinális (észak-déli, északkelet-délnyugati, északnyugat-délkeleti) irányok egyikével és minden intervallum meg van számozva egy pozitív egész számmal, amelyet az intervallum multiplicitásának vagy tenziójának hívunk. Minden diagramhoz hozzárendelhetünk egy mértéket, amelyet úgy kapunk, hogy vesszük a Lebesgue-mértékek összegét minden intervallumon a multiplicitással súlyozva. Azt mondjuk, hogy a $d$ és $d'$ diagramok ekvivalensek ha a hozzájuk tartozó mértékek egyenlők.

Ha $h$ egy diagram és $\kappa$ egy $\mathbb{R}^3_{\Sigma =0}$ -beli pont, akkor azt mondjuk, hogy $\kappa$ egy zéró-tenziójú pontja $h$ -nak, ha $\kappa$ -nak egy elég kis környezetében, $h$ ekvivalens $\kappa$ -ból kiinduló sugarak egy uniójával, amelyek koordináta vektorainak az összege megszorozva a multiplicitásukkal, 0-val egyenlő. Mivel a $\kappa$ -ból kiinduló egység hosszúságú vektorok összegének, súlyozva a multiplicitásukkal, zérónak kell lennie, ha egy irány és ennek negatívja pozitív multiplicitással fordul elő, akkor kivonhatjuk őket egymásból. Két eset érdekel minket: 1) ha egy pont egy intervallumra esik, ebben az esetben a zéró-tenzió feltétel azt jelenti, hogy a pontból induló két sugárnak ugyanaz a multiplicitása; 2) ha egy pont egy $Y$ alakú rész centruma, ebben az esetben a pontból induló három sugár ismét egyenlő multiplicitású. Ez és pár további eset látható az ábrákon, ahol az ábécé kis betűi a multiplicitást jelölik.

1. ábra: 1) eset

2. ábra: 2) eset

3. ábra

4. ábra

5. ábra

6. ábra

Egy méhkaptár egy olyan diagram (pontosabban diagramok ekvivalencia osztálya), hogy

1.) minden $\mathbb{R}^3_{\Sigma =0}$ -beli pont zéró-tenziójú,

2.) csak véges sok olyan pont létezik, amelyből több, mint két sugár indul ki, ezeket csúcsoknak fogjuk hívni, (ezek csak a 2., 3., 4., 5., 6. ábrákon levő pontok lehetnek, itt a pontból kiinduló sugarak a multiplicitásukkal vannak számozva)

3.) a félig végtelen intervallumok csak észak-keleti, észak-nyugati és déli irányokba futnak. Ezeket az intervallumokat a méhkaptár határéleinek nevezzük.

Minden méhkaptár esetén mindhárom kardinális irányba ugyanannyi számú határél mutat az éleket a multiplicitásukkal együtt számolva, mivel a méhkaptár hálózat tenziója 0. $n$ -méhkaptárnak nevezzük a mindhárom irányban $n$ határéllel rendelkező méhkaptárt.

A 7. és a 8. ábrák két méhkaptárt mutatnak. Az 7. ábrán egy 4-méhkaptárat látunk, amelynek minden éle 1 multiplicitású, és csak olyan csúcspontjai vannak, ahol a pont egy $Y$ alakzat centruma (lásd a 2. ábrát). A 8. ábrán egyetlen él van, amely 2 multiplicitású, ez déli irányú határél, a többi él multiplicitása 1. Van egy 1 multiplicitású déli irányú határél is, ezért a déli irányba 3 határél mutat, az észak-nyugati irányba és az észak-keleti irányba három-három 1 multiplicitású határél mutat. Ezért ez egy 3-méhkaptár.

7. ábra

8. ábra

Mivel egy méhkaptárban minden él párhuzamos a kardinális irányok egyikével, és ezen irányok három koordinátájának egyike 0-val egyenlő, minden méhkaptárélnek van egy konstans koordinátája (ez a koordinátája közös az él menti összes pontnak). Vegyük a határélek konstans koordinátáit és írjuk, hogy

$\displaystyle (\lambda_{1}, \dots , \lambda_{n}, \mu_{1}, \dots , \mu_{n}, \nu_{1}, \dots , \nu_{n})=(\lambda, \mu, \nu ),$

mint a 9. ábrán, ahol a görög betűk jelölik a konstans koordinátákat.

9. ábra

A következő tétel átfogalmazza a hermitikus mátrixok és az összegmátrixuk sajátértékei közötti problémát a síkbeli méhkaptár ábrázolásra:

1. tétel: Legyen $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ valós számok monoton csökkenő $n$ -esei. Akkor és csak akkor léteznek $A$ , $B$ és $A+B$ hermitikus mátrixok $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ sajátértékekkel, ha létezik egy méhkaptár, amely határéleinek konstans koordinátái $(\lambda , \mu , -\nu )$ .

Az 1. tétel bizonyítása A. Knutson és T. Tao [4] cikkéből következik. Ennek a tételnek az átfogalmazása a (6) szimmetrizált relációra vonatkozóan:

2. tétel: A (6) reláció akkor és csak akkor teljesül, ha létezik egy méhkaptár $(\lambda, \mu, \nu )$ konstans határél-koordinátákkal.

Hogy érzékeltessük az 1. (vagy 2.) tétel igazságát, megadjuk az 1- és a 2-méhkaptárt: Ha $n=1$ , akkor $\lambda =(\lambda_1)$ , $\mu=(\mu_1)$ , $\nu=(\nu_1)$ . A (6) reláció akkor és csak akkor teljesül, ha $\lambda_1+\mu_1+\nu_1=0$ . 1-méhkaptárat akkor és csak akkor kapunk, ha a három határél koordinátáinak összege 0. Az élek a konstans koordinátájukkal vannak számozva. Ezért az 1-méhkaptár $Y$ alakú (lásd a 10. bal oldali ábrát).

10. ábra

Most tekintsük az $n=2$ esetet. Ekkor $\lambda =(\lambda_1, \lambda_2)$ , $\mu=(\mu_1, \mu_2)$ , $\nu=(\nu_1, \nu_2)$ . A 2-méhkaptár (lásd a 11. ábrát) egyértelműen meg van határozva a határél-koordinátákkal. Ezeknek teljesíteniük kell a nyomfeltételt, (1)-et. Továbbá az élek hosszúsága nem lehet negatív. Az éleket a konstans koordinátájukkal számozzuk. Az élek hosszát kiszámolhatjuk (egy irreleváns $\sqrt{2}$ faktor erejéig) úgy, hogy kivonjuk két párhuzamos szomszédos él konstans koordinátáit. Például a $\lambda_2$ -vel, $\mu_2$ -vel, $\nu_2$ -vel számozott élek hossza: $\lambda_1+\mu_2+\nu_1$ , $\lambda_1+\mu_1+\nu_2$ , $\lambda_2+\mu_1+\nu_1$ . Mivel ezek nem negatívak, megkapjuk a (3) szükséges feltételek analógjait, hogy $\lambda_1+\mu_2+\nu_1 \ge 0$ , $\lambda_1+\mu_1+\nu_2 \ge 0$ , $\lambda_2+\mu_1+\nu_1 \ge 0$ . $n=2$ esetén ezek szükséges és elégséges feltételét adják a (6) reláció teljesülésének.

11. ábra

Magasabb dimenzióban több méhkaptár is létezik ugyanolyan határél-koordinátákkal. Az 1. tétel bizonyításához szükség van a tétel egy kvantált verziójára és annak bizonyítására. Először az (5) reláció kvantum verzióját adjuk meg. Ebben a relációban a $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ $n$ -esekben csak egész számok fordulnak elő, míg az (5) relációban valós $(\lambda, \mu, \nu )$ $n$ -esek vannak. A kvantált relációt egy kombinatorikai feladattal, a Littlewood-Richardson ferde táblázat létezésével vezetjük be. Ez a táblázat a $GL_n(\mathbb{C})$ csoport reprezentáció-elméletében kap fontos szerepet, amelyet az Appendixben írunk le. A Littlewood-Richardson ferde táblázat fogalmához a Young-diagram és -táblázat fogalmán keresztül jutunk.

Legyen $\alpha$ egy pozitív egész szám. $\alpha$ minden $\alpha=\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_n$ , $\alpha_1 \ge \alpha_2 \ge \ldots \ge \alpha_n$ , nemnegatív monoton csökkenő egész számok összegére történő felbontásához hozzárendeljük azt a diagramot, amely $\alpha$ cellából áll, amelyek balra záródó sorokba rendeződnek úgy, hogy az első sorban $\alpha_1$ , a második sorban $\alpha_2$ , ..., $n$ .-sorban $\alpha_n$ cella van. Ezt a diagramot Young-diagramnak hívjuk. $\alpha$ felbontását pedig $\alpha=(\alpha_1 \ge \alpha_2 \ge \ldots \ge \alpha_n)$ -nel fogjuk jelölni. A felbontáshoz tartozó cellákat pozitív egész számokkal töltjük ki úgy, hogy

$(*)$ a számok minden sorban balról jobbra monoton növekedően helyezkednek el és minden oszlopban fentről lefelé szigorúan monoton növekedően állnak. Ekkor Young-táblázatról beszélünk.

A sztenderd Young-táblázat egy olyan táblázat, amelynek celláiba 1-től $\alpha$ -ig írjuk be a számokat, mindegyiket egyszer. Általában egy táblázatban a számok többször is ismétlődhetnek. Például: A 12. ábra $(6,4,4,2)$ Young-táblázatokat mutat, és a jobb oldali táblázat sztenderd.

12. ábra

Ha két diagram az $\alpha=(\alpha_1 \ge \alpha_2 \ge \ldots \ge \alpha_n)$ és a $\beta=(\beta_1 \ge \beta_2 \ge \ldots \ge \beta_n)$ felbontásokhoz tartozik úgy, hogy $\beta_i \le \alpha_i$ minden $i$ -re, akkor azt mondjuk, hogy a $\beta$ Young-diagramját tartalmazza az $\alpha$ Young-diagramja, és úgy jelöljük, hogy $\beta \subset \alpha$ . Ferde diagramot, $\alpha / \beta$ -t akkor kapunk, ha egy nagyobb diagramból $\alpha$ -ból kitöröljük egy kisebb diagram $\beta$ celláit. Ferde táblázatról akkor beszélünk, ha egy ferde diagramot úgy töltünk ki pozitív egész számokkal, hogy teljesüljön a $(*)$ feltétel. Például: Ha $\alpha =(5,5,4,3,2)$ és $\beta=(4,4,1,0,0)$ , akkor a 13. ábra bal oldala egy ferde diagramot, a jobb oldala egy ferde táblázatot mutat.

13. ábra

Az $\alpha / \beta$ diagram celláit úgy rendezzük, hogy először felsoroljuk a legfelső sorban a cellákat jobbról balra, utána a második sorban a cellákat jobbról balra és így tovább. A $\alpha / \beta$ alakú ferde diagram $\gamma =(\gamma_1 \ge \gamma_2 \ge \ldots \ge \gamma_n)$ tartalmú, ha a diagramot $\gamma_1$ 1-gyel, $\gamma_2$ 2-vel, $\gamma _n$ $n$ -nel töltjük ki úgy, hogy teljesüljön a következő tulajdonság: Minden $p$ -re, $1 \le p < \sum \gamma_i=\gamma$ , és minden $i$ -re, $1 \le i < n$ , az a szám, ahányszor $i$ előfordul a rendezés szerinti első $p$ cellában, legalább akkora, mint ahányszor az $i+1$ előfordul ebben az első $p$ cellában. Az így kitöltött táblázatot nevezzük Littlewood-Richardson ferde táblázatnak $\alpha / \beta$ alakkal és $\gamma$ tartalommal. Például: Ha $\alpha =(5,4,3,2)$ , $\beta =(3,3,1,0)$ , és $\gamma$ rendre $(5,2,0,0)$ , $(5,1,1,0)$ , $(4,3,0,0)$ akkor a 14. ábrán látható Littlewood-Richardson ferde táblázatokat kapjuk:

14. ábra

Az (5) reláció kvantum analógja

$\displaystyle \lambda \oplus \mu \sim_q \nu,$

(7)

akkor áll fenn, ha létezik legalább egy Littlewood-Richardson ferde táblázat $\nu / \lambda$ alakkal és $\mu$ tartalommal.

Látható, hogy a $\sum \nu_i= \sum \lambda_i+ \sum \mu _i$ feltétel, amely az (1) nyomfeltétel, szükséges ahhoz, hogy létezzen Littlewood-Richardson ferde táblázat $\nu / \lambda$ alakkal és $\mu$ tartalommal. A kapcsolat a klasszikus és a kvantum reláció között a következő:

3. tétel: Legyenek $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ egész számok monoton csökkenő $n$ -esei.

1. Ha (7) teljesül, akkor teljesül (5).

2. Fordítva, ha (5) teljesül, akkor létezik egy $N >0$ egész szám úgy, hogy $N \lambda \oplus N \mu \sim_q N \nu$ , ahol $N \lambda=(N \lambda _1, \dots, N \lambda _n)$ .

Továbbá teljesül a következő állítás:

4. állítás: A fenti tételben $N=1$ -nek vehető, azaz (5) és (7) ekvivalens egész $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ $n$ -esekre.

A 4. állítás saturation-sejtésként volt ismert, és az első bizonyítását A. Knutson és T. Tao adták [4]-ben.

Az 1. tétel kvantum analógjának megfogalmazásához megadjuk az egész méhkaptár definicióját.

Egy méhkaptárt egész méhkaptárnak nevezzük, ha csúcspontjai (amelyekből legalább két él indul ki) egész koordinátájúak, azaz $\mathcal{Z}^3_{\Sigma =0}:= \mathbb{R}^3_{\Sigma =0} \cap \mathbb{Z}^3$ -beliek.

Egy egész méhkaptár határél-koordinátái szükségszerűen egészek.

5. tétel: A (7) reláció pontosan akkor teljesül, ha létezik egy egész méhkaptár $(\lambda , \mu , -\nu )$ határél-koordinátákkal.

A 5. és a 3. tételekből következik az 1. és a 2. tétel. A. Knutson és T. Tao leredukálták [4]-ben a saturation-sejtést a következő méhkaptárral kapcsolatos problémára, amelyet [4]-ben be is bizonyítottak.

6. tétel: Legyen $h$ egy valós értékű méhkaptár egész határél-koordinátákkal. Ekkor létezik egy $h'$ egész méhkaptár ugyanazokkal a határél-koordinátákkal, mint $h$ .

Ezzel megadták a saturation-sejtés első bizonyítását. Most újra fogalmazzuk a Horn sejtést, felhasználva A. A. Klyachko eredményét (lásd. [3]). Horn bebizonyította [2]-ben, hogy az (5) reláció megoldáshalmaza megadható az (1) által, és véges számú

$\displaystyle \lambda_{i_1+r}+ \ldots+ \lambda_{i_r+1}+ \mu_{j_1+r} +\ldots+ \mu_{j_r+1} \ge\nu_{k_1+r}+\ldots+ \nu_{k_r+1}$

(8)

alakú egyenlőtlenség által, ahol $1 \le r <n$ , és $i=(i_1 \ge \ldots \ge i_r)$ , $j=(j_1 \ge \ldots \ge j_r)$ , $k=(k_1 \ge \ldots \ge k_r)$ egész számok monoton csökkenő sorozatai 0 és $n-r$ között inkluzívan. Egy ilyen formájú $(i,j,k)$ hármast megengedettnek nevezünk. Például (2) a $((0),(0),(0))$ megengedett hármassal (8) alakú. Indukcióval megmutatható, hogy a Horn-sejtés ekvivalens a következővel:

7. sejtés: Legyenek $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ valós számok monoton csökkenő sorozatai. Ekkor az (5) reláció akkor és csak akkor teljesül, ha (1) fennáll és (8) teljesül mindannyiszor, amikor $i$ , $j$ , $k$ megengedett és $i \oplus j \sim_c k$ .

A. A. Klyachko a [3]-ban megmutatta, hogy a Horn-sejtés igaz, ha a klasszikus $\sim_c$ relációt a kvantum $\sim_q$ relációval helyettesítjük $(i,j,k)$ -n:

8. tétel: Legyenek $\lambda$ , $\mu$ , $\nu$ valós számok monoton csökkenő sorozatai, amelyek teljesítik (1)-et.

1. Ha (5) reláció teljesül, akkor (8) mindannyiszor teljesül, amikor $i$ , $j$ , $k$ megengedett és $i \oplus j \sim_q k$ .

2. Fordítva, ha (8) teljesül mindannyiszor, amikor $i$ , $j$ , $k$ megengedett és $i \oplus j \sim_q k$ , akkor teljesül az (5) reláció.

Így az $m<n$ dimenziós kvantumprobléma megoldhatósága meghatározza a Weyl-feladat megoldhatóságát a klasszikus $n$ -dimenziós problémára (( $n \times n$ )-es hermitikus mátrixok összegére). A saturation-tétel bizonyítása, amely azt mondja, hogy minden ilyen kvantumprobléma pontosan akkor megoldható, ha a hozzá tartozó klasszikus probléma (ugyanabban a dimenzióban) megoldható, rekurzív módot ad a Horn-sejtés bizonyítására.

A [6] cikkben A. Knutson, T. Tao és C. Woodward megadták a 8. tételnek egy tisztán méhkaptár-elméleti bizonyítását , ezzel a Horn-sejtésnek egy bizonyítását, direkt módon a saturation-sejtésből. Az [5] cikket szeretném ajánlani mindazoknak, akik szeretnének megismerkedni ezen gondolatkör bizonyításának az ötleteivel.

Appendix

A $\lambda \oplus \mu \sim_q \nu$ kvantumreláció az $U_n$ unitér csoport irreducibilis reprezentációival vagy ami ezzel ekvivalens, a $GL_n(\mathbb{C})$ véges dimenziós irreducibilis holomorf reprezentációival áll szoros kapcsolatban. Minden ilyen reprezentációnak van egy legnagyobb súlya, amely egy monoton csökkenő $\lambda=( \lambda_1 \ge \dots \ge \lambda_n )$ egész számokból álló $n$ -es. $GL_n(\mathbb{C})$ irreducibilis polinomiális reprezentációi a következőképpen adhatók meg (lásd [1], Section 8, Representations of the general linear group): A konstrukcióhoz szükségünk lesz a korábban definiált Young -diagramra. A $GL_n(\mathbb{C})=GL(V)$ , ahol $V$ egy $n$ -dimenziós komplex vektortér, irreducibilis polinomiális reprezentációi a $\lambda$ maximálisan $n$ sorból álló Young-diagramjai által paraméterezhetők, és bázisaik a $\lambda$ Young-táblázataihoz rendelhetők, amelynek elemei $[n]=\{1,2,\ldots,n\}$ -beliek. Ha $\lambda =(n)$ , (azaz a $\lambda$ Young-diagramja egy sorban levő $n$ cellából áll) akkor a $V_{\lambda}$ reprezentáció (Schur- vagy Weyl-modul) a $\operatorname{Sym}^n V$ $n$ -edik szimmetrikus hatványa $V$ -nek. Ha $\lambda =(1^n)=(1+1+\ldots+1)$ , (azaz a $\lambda$ Young-diagramja egy oszlopban levő $n$ cellából áll) akkor a $V_{\lambda}$ reprezentáció az $n$ -eddik $\wedge^n V$ külső hatványtér.

A további reprezentációk megkonstruálásához szükséges a kicserélés fogalma. Ez egy $\lambda$ Young-diagram két oszlopának és a két oszlopban ugyanannyi számú cellának a kiválasztásától függ. A $\lambda$ diagram minden $T$ kitöltését megengedjük (tetszőlegesen rendezhetjük el a cellákban az elemeket). A $T$ kitöltött diagramból a kicserélés után úgy kapjuk $S$ -et, hogy a kiválasztott két oszlopban felcseréljük a két kiválasztott cellahalmazban levő elemeket, megtartva mindkettő merőleges rendezését, és a többi elemet változatlanul hagyjuk. Például: Ha $\lambda =(4,3,3,2)$ és a harmadik oszlopból a felső két cellát, a második oszlopból a második és a negyedik cellát választjuk, akkor a kicserélés eredményéül a $T$ kitöltött diagramból az $S$ -t kapjuk (lásd 15. ábrát).

15. ábra

Jelölje $V^{\times \lambda}:=V \times V \times \ldots \times V$ a $V$ vektortér $m= \sum \lambda_i$ másolatának a Descartes-szorzatát, amely a $\lambda$ Young-diagramjának $m$ cellája szerint van számozva. Így egy $v \in V^{\times \lambda}$ elem megadható $\lambda$ minden cellájára $V$ egy speciális eleme által. Legyen $F$ egy komplex vektortér. Tekintsük a $\varphi: V^{\times \lambda} \to F$ leképezéseket, amelyek teljesítik a következő tulajdonságokat:

(1) $\varphi$ $\mathbb{C}$ -multilineáris,

(2) $\varphi$ alternáló $\lambda$ minden oszlopának elemeiben, azaz $\varphi$ eltűnik, ha két elem ugyanabban az oszlopban megegyezik. Az (1)-gyel együtt ebből az következik, hogy $\varphi (v)=-\varphi (v')$ , ha $v'$ -t úgy kapjuk $v$ -ből, hogy felcserélünk két elemet egy oszlopban.

(3) Minden $v \in V^{\times \lambda}$ -ra $\varphi (v)=\sum \varphi (w)$ , ahol az összegzés az összes olyan $w$ -re történik, amelyet $v$ -ből kapunk úgy, hogy két adott oszlop között kicseréljük a jobb oldali választott oszlop egy adott cellahalmazát. Például: Ha $\lambda=(2,2,2)$ és a második oszlopban a felső cellát választjuk, akkor a 16. ábrán levő egyenletet kapjuk.

16. ábra

A $V_{\lambda}$ Schur-modul egy $\mathbb{C}$ -vektortér úgy, hogy létezik egy $V^{\times \lambda} \to V_{\lambda}:v \mapsto v_{\lambda}$ leképezés, amely teljesíti (1)–(3)-t, és minden $\varphi: V^{\times \lambda} \to F$ leképezésre, amely teljesíti (1)–(3)-t létezik egy egyértelmű $\tilde{\varphi}: V_{\lambda} \to F$ homomorfizmus, amelyre $\varphi(v)=\tilde{\varphi}(v_{\lambda})$ teljesül minden $v \in V^{\times \lambda}$ esetén. $V_{\lambda}$ megkonstruálásához először vegyük észre, hogy az (1) tulajdonságú univerzális modul a $V^{\otimes \lambda}$ tenzorszorzata $V$ $m$ másolatának, ahol a faktorok $\lambda$ cellái szerint vannak indexelve. Az (1) és (2) tulajdonságú univerzális modul a hányados modulja $V^{\otimes \lambda}$ -nak azzal a részmodullal, amelyet $V$ elemeiből képzett olyan tenzorok generálnak, amelyeknek van két egyező eleme ugyanabban az oszlopban. Az ebben a lépésben kapott modul azonosítható a $\wedge^{\delta_1} V \otimes_{\mathbb{C}} \ldots \otimes_{\mathbb{C}} \wedge^{\delta_l} V$ modullal, ahol $\delta_i$ a Young diagram $i$ -dik oszlopának hossza, azaz $\delta =\tilde {\lambda}$ . Például: a 17. ábra esetén $\lambda$ egy $(6,4,4,2)$ diagram, a konjugáltja $\tilde {\lambda}$ egy $(4,4,3,3,1,1)$ diagram.

17. ábra

Ha adott egy vektor $V^{\times \lambda}$ -ban, akkor tekintsük minden oszlopban az elemek külső szorzatát az oszlop tetejétől az aljáig, és vegyük ezeknek az osztályoknak a tenzorszorzatát (lásd a 18. ábrát)

18. ábra

Jelöljük ezt a $V^{\times \lambda} \to \wedge^{\delta_1} V \otimes_{\mathbb{C}} \cdots \otimes_{\mathbb{C}} \wedge^{\delta_l} V$ leképezést $v \mapsto \wedge v$ -vel. Ekkor $V_{\lambda}$ a $\wedge^{\delta_1} V \otimes_{\mathbb{C}} \cdots \otimes_{\mathbb{C}} \wedge^{\delta_l} V/Q^{\lambda}(V)$ hányadosmodul, ahol $Q^{\lambda}(V)$ az a részmodul, amely az összes $\wedge v- \sum \wedge w$ alakú elem által van generálva, ahol az összegzés az összes olyan $w$ elemre megy, amelyet $v$ -ből a (3)-ban leírt kicseréléssel kapunk. Például: $V_{(2,1)}$ a hányadosa $\wedge^2 V \otimes V$ -nek az összes $u \wedge v \otimes w-w \wedge v \otimes u-u \wedge w \otimes v$ alakú vektorok által generált részmodullal.

Tegyük fel, hogy van egy rendezett $e_1$ , ..., $e_n$ halmaza $V$ elemeinek. Ekkor minden $T$ kitöltésére a $\mu$ diagramnak $[n]$ elemeivel, megkapunk $V^{\times \mu}$ -nek egy elemét, ha helyettesítjük a $T$ celláiban minden $i$ -t $e_i$ -vel. Ennek az elemnek a képe $V_{\mu}$ -ben legyen $e_{T}$ . Legyen $H \subset GL(V)$ a diagonális mátrixok részcsoportja és jelöljük $x=\operatorname{diag}(x_1,\ldots,x_n)$ -nel az $x_1$ , ..., $x_n$ elemű diagonális mátrixot $H$ -ban. Egy $v \in V_{\mu}$ vektort súlyvektornak nevezünk a $\mu =(\mu_1 \ge \ldots \ge \mu_n)$ súllyal $\mu_i \in \mathbb{Z}$ , ha $x \cdot v=x_1^{\mu_1} \cdots x_n^{\mu_n} v$ minden $x \in H$ esetén. Legyen $B \subset GL(V)$ a felső trianguláris mátrixok Borel-részcsoportja. Egy $v$ súlyvektort legnagyobb súlyú vektornak nevezzük, ha $B \cdot v=\mathbb{C}^{\ast} \cdot v$ . Egy nemnulla skalárszorzás erejéig az egyetlen legnagyobb súlyú vektor a $V_{\mu}$ reprezentációban az $e_T$ vektor, ahol $T=U(\mu )$ a $\mu$ -nek az a táblázata, amelynek $i$ -dik sora csak az $i$ egész számot tartalmazza. Például: $\mu =(4,4,3,2)$ esetén a 19. ábra mutatja a $U(\mu )$ táblázatot.

19. ábra

$GL_n(\mathbb{C})$ minden véges dimenziós irreducibilis reprezentációjának egyetlen legnagyobb súlyvektora van. Két reprezentáció pontosan akkor izomorf, ha a legnagyobb súlyvektoruk súlya megegyezik. Ha $\lambda$ maximálisan $n$ sorból áll, akkor $GL_n(\mathbb{C})$ -nek minden $V_{\lambda}$ reprezentációja egy irreducibilis reprezentáció a $\lambda =(\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_n)$ legnagyobb súllyal. Ezek $GL_n(\mathbb{C})$ összes irreducibilis polinomiális reprezentációi. Minden $\alpha =(\alpha_1 \ge \ldots \ge \alpha_n)$ , $\alpha_i \in \mathbb{Z}$ , esetén egyetlen $\alpha$ legnagyobb súlyú irreducibilis reprezentációja létezik $GL_n(\mathbb{C})$ -nek, ez a $V_{\lambda} \otimes D^{\otimes k}$ tenzorszorzattal adható meg, ahol $k \in \mathbb{Z}$ úgy, hogy $\lambda_i=\alpha_i -k \ge 0$ minden $i$ -re. Itt $D=\wedge ^n V$ és $D^{\otimes k}$ a $GL(V) \to \mathbb{C}^{\ast}$ , $g \mapsto \hbox{det} (g)^k$ 1-dimenziós reprezentáció.

Ha adott két $V_{\lambda}$ , $V_{\mu}$ irreducibilis reprezentációja $GL_n(\mathbb{C})$ -nek a $\lambda =(\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_n)$ és $\mu =(\mu_1 \ge \mu_2 \ge \dots \ge \mu_n)$ , $\lambda_i, \mu_i \in \mathbb{Z}$ , legnagyobb súllyal, akkor a $V_{\lambda} \otimes V_{\mu}$ tenzorszorzat egy másik véges dimenziós holomorf reprezentációja $GL_n(\mathbb{C})$ -nek. A $V_{\lambda} \otimes V_{\mu}$ tenzorszorzat felbomlik irreducibilis reprezentációk direkt összegére, és az a szám $c_{\lambda \mu}^{\nu}$ , hogy egy adott $V_{\nu}$ irreducibilis reprezentáció hányszor fordul elő ebben az összegben, független a felbontás választásától. Ezt nevezzük Littlewood-Richardson együtthatónak. Ez éppen a $\nu / \lambda$ alakú és $\mu$ tartalmú Littlewood-Richardson ferde táblázatok száma. A (7) kvantumrelációt úgy definiáljuk, hogy akkor áll fenn, ha a $V_{\nu}$ irreducibilis reprezentáció egy másolata legalább egyszer előfordul a $V_{\lambda} \otimes V_{\mu}$ tenzorszorzatban, azaz ha $c_{\lambda \mu}^{\nu}>0$ .

A (7) reláció szimmetrikus alakját pedig úgy definiáljuk, hogy a

$\displaystyle \lambda \oplus \mu \oplus \nu \sim_q 0$

reláció akkor teljesül, ha $V_{\lambda} \otimes V_{\mu} \otimes V_{\nu}$ tenzor szorzat tartalmaz egy nemtriviális $GL_n(\mathbb{C})$ invariáns vektort.

A saturation-sejtés a 4. állítás formájában a $GL_n(\mathbb{C})$ csoportra igaz.

Irodalomjegyzék

[1] W. Fulton, Young Tableaux, Cambridge Univ. Press, 1997.

[2] A. Horn, Eingenvalues of sums of Hermitian matrices, Pacific J. Math. 12 (1962), 225–241.

[3] A. A. Klyachko, Stable vector bundles and Hermitian operators, Selecta Math. (N.S.) 4 (1998), 419–445.

[4] A. Knutson and T. Tao, The honeycomb model of $GL_n(\mathbb{C})$ tensor products I: Proof of the saturation conjecture, J. Amer. Math. Soc. 12 (1999), 1055–1090.

[5] A. Knutson and T. Tao, Honeycombs and Sums of Hermitian Matrices, Notices in AMS, (2001), 175–186.

[6] A. Knutson, T. Tao and C. Woodward, The honeycomb model of $GL_n(\mathbb{C})$ tensor products II: Facets of the Littlewood-Richardson cone, J. Amer. Math. Soc. 17 (2004), 19–48.

Figula Ágota

Debreceni Egyetem Matematikai Intézete