Mi is a… Legendre-csomó?

Mi is a… Legendre-csomó?

A Legendre-csomók elmélete az általános csomóelmélet és a kontakt topológia egy határterülete. Legendre-csomókkal akkor találkozunk, amikor a kontakt topológia extra struktúrájával együtt vizsgálunk általános csomókat, vagy amikor csomóelméleti ötleteket használunk fel a kontakt topológia, illetve alkalmazásainak megértéséhez. Írásunkban először bemutatjuk, mik is a Legendre-csomók, majd motivációt adunk tanulmányozásukhoz.

Egy (általános/sima) csomó a körvonal egy sima beágyazása $ \mathbb{R}^3$-ba (vagy bármilyen más 3-sokaságba, de ebben a cikkben elsősorban $ \mathbb{R}^3$-mal foglalkozunk). Egy kontakt struktúra egy speciális típusú síkmező – ahogy egy vektormező a tér minden pontjában megad egy vektort, egy síkmező minden ponthoz egy egész síkot rendel. Az 1. ábrán a sztenderd kontakt struktúra, $ \xi_0$ látható $ \mathbb{R}^3$-on, amit alább részletesebben is bemutatunk majd. Bár precízen nem definiáljuk a kontakt struktúrákat, a fogalom lényege az, hogy a kontakt struktúra síkjai úgy forognak, hogy nem létezhet olyan felület, amelynek érintői mind részei a kontakt síkmezőnek. Ennek ellenére vannak olyan görbék, amelyek érintővektorai belesimulnak a kontakt struktúrába; az ilyen görbéket nevezzük Legendre-típusúnak. Az olyan csomók, amelyek egyben Legendre-típusú görbék is, a Legendre-csomók.

LegendrianWhatIs fig1

1.ábra. A sztenderd kontakt struktúra $ \mathbb{R}^3$-on (az ábra Mathematica használatával készült).

A továbbiakban $ (\mathbb{R}^3, \xi_0)$-ban, a sztenderd kontakt térben vizsgálunk Legendre-csomókat. Hogy megértsük a sztenderd kontakt struktúrát, először képzeljünk el egy egykerekűt például egy parkolóban, majd tekintsük a pályát, amit az egykerekű járna be azzal a megkötéssel, hogy a kerék sosem áll észak-déli irányba. Az egykerekű helyzete $ \mathbb{R}^3$-ban leírható a $ (q,p,z)$ koordinátákkal, ahol $ (q,z)$ az egykerekű pozíciója a parkolóban, $ p$ pedig a kerék $ q$ és $ z$ tengelyekre vonatkozó meredeksége, fentről nézve. Az egykerekű bármelyik pillanatban helyben elfordulhat, elmozdulhat előre vagy hátra – abba az irányba, amelybe a kereke néz –, vagy megteheti ezen mozgások tetszőleges lineáris kombinációját. Ekkor az egykerekű pályáját leíró $ \gamma(t)=(q(t),p(t),z(t))$ görbe érinti a $ \partial_p$ és $ \partial_q+p\partial_z$ vektormezők által kifeszített síkmezőt, így kielégíti a következő egyenletet:

$\displaystyle z^\prime(t)-q^\prime(t)p(t)=0.$ (1)

Ez a síkmező a korábban említett sztenderd kontakt struktúra, amiben a $ \gamma(t)$ görbe Legendre-típusú.

LegendrianWhatIs fig2

2. ábra. (a) Legendre-típusú triviális csomó hátul a frontális, lent a Lagrange-vetületével; (b) Egy másik Legendre-típusú triviális csomó frontális vetülete; (c) A Chekanov–Eliashberg példák

A feltétel, amit az  (1) egyenlet jelent a csomóra nézve, a $ qz$ és $ qp$ síkokra való vetületen a legszemléletesebb, ezeket mutatja a 2. ábra. Az (1) egyenlet szerint egy Legendre-típusú görbe $ p$ koordinátáját egyértelműen meghatározza a görbe $ qz$ síkra vett frontális (elülső) vetületének meredeksége. Az egykerekű példájánál maradva a frontális vetület a parkolóban hagyott keréknyom. A 2. ábrán néhány Legendre-csomó frontális vetülete látható.

Figyeljük meg, hogy a vetületen minden kereszteződés ugyanúgy néz ki: a kisebb meredekségű ív halad el a nagyobb meredekségű fölött. Minden olyan $ qz$ síkbeli zárt görbe, amely véges sok „csúcsos”, úgynevezett cusp kivételtől eltekintve immerzió, és nincsenek függőleges érintői, előáll egy Legendre-csomó frontális vetületeként.

Az (1) egyenletből az is következik, hogy egy Legendre-típusú görbe $ z$ koordinátája (konstans erejéig) egyértelműen meghatározható a $ q^\prime(t)p(t)$ mennyiség integrálásával a görbe $ qp$ síkra vett, úgynevezett Lagrange-vetülete mentén. Mivel egy csomón végighaladva annak $ z$ koordinátája vissza kell térjen a kiindulási értékébe, Green tétele szerint egy Legendre-csomó Lagrange-vetülete nulla előjeles területű részt határol. Tehát a sima körvonal nem lehet egy Legendre-csomó Lagrange-vetülete.

A csomóelmélet két alapvető célja, hogy megértsük a csomók „geográfiáját” – azaz hogy megkülönböztessük, avagy osztályozzuk a csomókat –, és hogy tanulmányozzuk a csomó helyzetét a háromdimenziós térben. E célkitűzések vonatkoznak a Legendre-csomóelméletre is. Két sima csomót ekvivalensnek tekintünk, ha sima mozgatásokkal, sima csomókon keresztül egymásba vihetők; hasonlóan, két Legendre-csomó ekvivalens, ha egymásba mozgathatók Legendre-csomókon keresztül.

Két ekvivalens Legendre-csomó sima csomóként is ekvivalens egymással, ám ez fordítva nem igaz. Hogy erről meggyőződhessünk, bevezetünk két „klasszikus” invariánst.

A Thurston–Bennequin-szám a Legendre-csomó, és annak egy olyan (például a $ \partial_z$ irányba) eltolt példányának hurkolódási számát méri, amely mindenhol transzverzálisan metszi $ \xi_0$-t.

A 2. (a) ábrán lévő csomó Thurston–Benneqin-száma $ tb=-1$, míg a 2. (b) ábrán lévő (szintén triviális!) csomóé $ tb=-2$. A rotációs szám egy irányított Legendre-csomó Lagrange-vetületén méri az érintővektorok körülfordulási számát. Ez is megkülönbözteti a 2. (a) és (b) ábrák csomóit.

A klasszikus invariánsok segítségével pontosíthatjuk a Legendre-csomók helyzetének kérdését egy rögzített sima csomóosztályon belül: Mely $ (tb;r)$ invariánspárok realizálhatók Legendre-csomóval, és hány Legendre-csomóosztály rendelkezik azonos klasszikus invariánspárral?

A triviális csomóra Eliashberg és Fraser bizonyították, hogy pontosan az olyan $ (tb;r)$ párok érhetők el, amelyek tagjai ellentétes paritásúak, valamint kielégítik a $ tb+\vert r\vert \leq -1$ Benneqin-korlátot; és hogy minden ilyen invariánspárhoz pontosan egy Legendre-csomóosztály tartozik. Eszerint minden Legendre-típusú triviális csomó előállítható a 2. (a) ábra frontális diagramjából néhány cikkcakk hozzáadásával (ezt a műveletet stabilizációnak nevezzük).

Tóruszcsomókra, a 8-as csomóra, és egyes tóruszláncokra hasonló osztályozás ismert, de a helyzet általában bonyolultabb: Eliashberg és Chekanov felfedezte, hogy a 2. (c) ábrán látható két Legendre-csomó azonos csomóosztályhoz tartozik, invariánsaik $ tb=1$ és $ r=0$, mégsem ekvivalensek. Számos olyan „nem klasszikus” invariánst ismerünk, amely képes megkülönböztetni ezeket (illetve más csomókat) is: ilyen a Legendre-féle kontakt homológia, mely speciális esete Eliashberg, Givental és Hofer szimplektikus mezőelméletének (Symplectic Field Theory); Chekanov, Pushkar és Traynor generátorcsalád-elmélete; vagy Ozsváth, Szabó és Thurston Legendre-invariánsa a csomó-Floer-homológiában. Ezek az újonnan kifejlesztett invariánsok a Legendre-csomók, illetve komplementumuk olyan finom kontakt topológiai tulajdonságait is ki tudják mutatni, amelyekről alkotott képünk csak napjainkban kezd kirajzolódni.

A Legendre-csomók nemcsak önmagukért érdekesek, hanem egyben eszközöket szolgáltatnak a kontakt topológia és a csomóelmélet tanulmányozásához. Kontakt topológiában gyakran Legendre-csomók segítségével vizsgáljuk a környező kontakt struktúrát. Erre az első példát Benneqin szolgáltatta az $ \mathbb{R}^3$-on lévő $ \xi^\prime$ „egzotikus” kontakt struktúra felfedezésekor: olyan Legendre-típusú triviális csomót talált $ (\mathbb{R}^3,\xi^\prime)$-ben, amelyre nem teljesült a Benneqin-korlát, így különböztetve meg $ \xi^\prime$-t $ \xi_0$-tól. Legendre-csomókat használunk új kontakt sokaságok létrehozásakor is, a műtétek leírásához.

A Legendre-csomók elméletének fejlődése nagy hatással van a sima csomóelméletre is, hiszen szoros kapcsolatban állnak az ismert geometriai (4-génusz) és kvantum (HOMFLY, Kauffman, Khovanov, …) csomóinvariánsokkal, valamint alkalmazhatók olyan új invariánsok megalkotásánál, mint például Ng csomó kontakt homológiája, ami magasabb dimenziós Legendre-csomókat használ. Mindemellett a Legendre-csomók (illetve az ezekkel analóg módon definiálható, a kontakt struktúrát mindenhol transzverzálisan metsző csomók) mentén végzett műtétek jelentős szerepet játszottak Kronheimer és Mrowka bizonyításában, amikor igazolták, hogy minden nemtriviális csomóra fennáll a P tulajdonság.

Nemrég Chekanov és Pushkar az Arnold-féle „4 cusp” sejtésre adott bizonyításukban ismét eredeti környezetükben, a geometriai optikában alkalmazta a Legendre-csomókat (hullámfrontokként).

Mindezek ellenére a Legendre-csomók geográfiájának, geometriájának és alkalmazásainak megértéséhez vezető útnak csupán a legelején járunk.

Irodalomjegyzék

[1] D. Bennequin, Entrelacements et équations de Pfaff, Asterisque 107–108 (1983), 87–161.
[2] J. Etnyre, Legendrian and Transversal Knots, Handbook of Knot Theory, Elsevier, 2005, pp. 105–185.
[3] H. Geiges, An Introduction to Contact Topology, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 109, Cambridge University Press, 2008.

Joshua M. Sabloff, Harverdord College 

A cikk az Amerikai Matematikai Társaság Notices folyóiratának 2009. novemberi számában jelent meg, ezúton köszönjük az AMS és a szerző szíves engedélyét a  fordítás közléséhez. Fordította: Földvári Viktória.

Joshua M. Sabloff, “What is...a Legendrian Knot?” Notices Amer. Math. Soc. 56, No. 10 (November 2009) 1282-84. ©2009 American Mathematical Society.

 

14. szám 2019. december

Még több cikk

Rendhagyó, páros interjút készített egymással Kránicz Gréta és Szikszai Mónika arról, mi volt a motivációjuk, amikor pályát választottak, hogyan tekintenek vissza a tanulmányaikra és hogy milyen tapasztalataik vannak matematikusként a pénzügyi világban. Mindketten az ELTE alkalmazott matematika alapszakán, majd a biztosítási es pénzügyi matematika mesterszakán végeztek. Most az MSCI amerikai székhelyű pénzügyi szolgáltató cégnél dolgoznak Budapesten. Tovább...

Tanóra rovatunkban Szoldatics Józsefet, a Budapesti Fazekas Mihály Gyakorló Általános Iskola és Gimnázium tanárát kértük fel, járjon körbe egy számára érdekes feladatot. Ő geometria feladatot választott, ami egy olyan háromszögről szól, amelyben a szögek 100 – 40 – 40 fokosak. A feladatra 6 megoldást mutat. Mind a hat a maga nemében szép, vagy valami szép tulajdonságot használ. Tovább...

A SIAM News 2019 január/februári számának tudománypolitikai rovatában jelent meg az Egyesült Államok megújult STEM oktatási stratégiájáról szóló cikk, amiből most az Érintő magyar olvasói számára is tanulságos részeket közöl. Kovács Ágnes fordításából kiderül, milyen az amerikai kormány matematikai, természettudományos, műszaki és informatikai képzésének ötéves stratégiai terve. Tovább...

„A tanítás örökös keresés: hogyan lehetne közelebb vinni, jobban megértetni a gyerekekkel az adott témát, milyen módszerrel, milyen játékokkal lehet felépíteni egy-egy fogalmat, vagy hogyan gyakoroljunk, hogy ne legyen unalmas, hogyan lehetne örömet szerezni matekórán. A legtöbb ötletet, módszert a kollégáimtól lestem el. Kötelező „lopni" egymástól, hiszen egy jó tanár órája rengeteg ötletet indíthat el bennünk." Tovább...

2019. november 22-24. között 27. alkalommal került sor Komáromban (Szlovákiában) a kárpát-medencei magyar középiskolások számára évenként megrendezett Nagy Károly Matematikai Diáktalálkozóra. Az idei háromnapos rendezvény 20 előadásán több, mint 80 tanár és diák vett részt anyaországi vagy egyéb kárpát-medencei magyarlakta vidékről. A rendezvény ötletgazdája, Oláh György és az idén elhunyt Keszegh István után Fonód Tibor lett a diáktalálkozó fő szervezője. Tovább…

Palugyai István több mint negyven év újságírói tapasztalattal a háta mögött nemrég jelentette meg 62 interjút tartalmazó válogatását a tudomány világából. Az interjúalanyok egy része Nobel-díjas, vagy jelentős külföldi tudós, fizikusok, vegyészek, orvosok között „a matek Lady Gagája”, Cédric Villani francia és Jin Akyiama japán matematikus. Tovább…

Rábai tanár úr még 90 éves korán túl is örömmel és nagy felkészültséggel tartott előadást, gondosan válogatott példákkal akár diákok, akár tanárok számára. Hosszú pályafutása alatt nagyon sok könyvet, feladatgyűjteményt, az érettségire vagy egyetemi felvételire készülőket segítő példatárat és egyéb oktatási segédanyagot írt. De a legbüszkébb a legendás első speciális matematika tagozatos osztályára volt. Egykori tanítványa, Laczkovich Miklós emlékezik meg róla. Tovább...

A csomóelmélet két alapvető célja, hogy megértsük a csomók „geográfiáját” – azaz hogy megkülönböztessük, avagy osztályozzuk a csomókat –, és hogy tanulmányozzuk a csomó helyzetét a háromdimenziós térben. E célkitűzések vonatkoznak a Legendre-csomóelméletre is. Az AMS Notices 2009-ben megjelent írása (fordította: Földvári Viktória) a sztenderd kontakt térben vizsgál Legendre-csomókat. Hogy megértsük a sztenderd kontakt struktúrát, először képzeljünk el egy egykerekűt például egy parkolóban, majd tekintsük a pályát, amit az egykerekű járna be azzal a megkötéssel, hogy a kerék sosem áll észak-déli irányba...Tovább...

Varga Tamás (1919−1987) a matematikaoktatás kutatásának kiemelkedő, nemzetközi hírű szakembere volt; a hazai matematikaoktatás, és különösen a felfedeztető matematikaoktatási hagyomány máig épít a munkásságára. Születésének 100. évfordulóját az MTA nemzetközi konferenciával ünnepelte. A sikeres rendezvényről a fő szervezők, Csapodi Csaba, Gosztonyi Katalin és Vancsó Ödön számolnak be. Tovább…

Harminc évvel ezelőtt, 1989. november 9-én, azaz a berlini fal leomlásának napján alakult meg a Typotex Elektronikus Kiadó Kft. Jelképes dátum ez, valójában egy hosszabb folyamat betetőzése. A néhány fős vállalkozás három évtized alatt fontos szellemi műhellyé nőtte ki magát. Erről a folyamatról, az elmúlt 30 évről szeretnék felvillantani pár momentumot. Votisky Zsuzsa, aki a leginkább illetékes abban, hogy mi történt ez alatt az idő alatt, sajnos már nincs közöttünk. Az ő elképzelései alapján alakult úgy a Typotex sorsa, ahogyan alakult –  írja Németh Kinga. Tovább... 

Hirtelen és váratlanul távozott el az élők sorából 2019. október 4-én Dr. Pap Gyula egyetemi tanár, a határeloszlás-tételek, a sztochasztikus folyamatok és a matematikai statisztika nemzetközileg elismert kutatója, aki élen járt a tudományos utánpótlás nevelésében. Könyvét az elágazó folyamatok statisztikai paraméterbecsléseiről már nem tudta megírni. Debreceni kollegája, Dr. Kántor Sándorné középiskolás kora óta közelről ismerte őt. Tovább…

Varga Dániel a Prezi cégnél dolgozik, mellette a Rényi Alfréd Matematikai Intézet kutatója, területe a mesterséges intelligencia, azon belül a deep learning, a mély mesterséges neuronhálók. Matematikai és informatikai tudására egyaránt szüksége van, hogy avval foglalkozhasson, ami érdekli.

Az International Symposium on Mathematical and Computational Biology (BIOMAT) konferenciasorozat 2001-ben Brazíliában indult, 2011 óta minden évben más ország ad otthont a rendezvénynek. 2019-ben a Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézete szervezte a konferenciát, amelyen október 21. és 25. között 14 országból csaknem 50 matematikus ismertette legújabb eredményeit. Az előadások témái, amelyekről Dénes Attila számol be, a matematikai biológia legkülönbözőbb területeiről kerültek ki. Tovább…

Matematika a mindennapokban egy autizmusban érintett matematikus szemén keresztül. Habár az autizmus lehetne csak egy plusz szó a mondatban, ennél sokkal nagyobb szerepe van. Olyan szerepe, ami áthatja az egész könyvet, ugyanúgy, ahogy maga az állapot hatja át az érintett személy egész életét és annak minden aspektusát. Vajda Kitti gyógypedagógus írt Daniel Tammet: Számokban létezünk című könyvéről. Tovább...