Mennyit teszteljünk? 2. rész

Cikkünk második részében folytatjuk a betegek arányának becslésével kapcsolatos, gyakran használt valószínűségszámítási, statisztikai ismeretek összefoglalását annak a kérdésnek a kapcsán, hogy hány tesztet érdemes végezni, ha az arányt adott pontossággal szeretnénk megbecsülni egy véletlenszerűen választott minta alapján. A kiindulás a következő:

$\bullet$ Tegyük fel, hogy egy országban egy bizonyos betegségben szenvedők aránya $p$ , ennek értékét azonban nem ismerjük.

$\bullet$ Kiválasztunk $n$ embert véletlenszerűen. Őket megvizsgálva, $X$ beteget találunk az $n$ közül. Itt $X$ véletlen érték, tehát egy valószínűségi változó, míg $n$ vagy adott, vagy általunk megválasztható.

$\bullet$ $X$ és $n$ segítségével, pontosabban az $X/n$ arány segítségével becsüljük $p$ -t – kérdés, hogy mennyire megbízható a becslésünk, hiszen egyáltalán nem mindegy, hogy $n=10$ vagy $n=100000$ embert vizsgáltunk meg.

Az alábbi feltételezésekkel éltünk (bár, ahogyan az első rész [3] végén láttuk, ezek némelyike nagyon nehezen vagy egyáltalán nem érhető el a valóságban):

$\bullet$ a mintavételnél az embereket egymástól függetlenül választjuk (egy-egy ember többször is szerepelhet);

$\bullet$ minden alkalommal mindenkit azonos valószínűséggel választunk;

$\bullet$ a tesztek tökéletesen megbízhatók.

Ezen feltételek mellett az első részben arra a kérdésre kerestük a választ, hogy adott pontosság eléréséhez hány vizsgálat elvégzésére van szükség. Ugyanakkor a tesztek számát gyakran nem mi választjuk meg, így az is jogos kérdés, hogy a tesztek adott számának és az eredményeknek az ismeretében hogyan fejezhetjük ki, hogy a betegek ismeretlen arányára kiszámított becslésben mennyire vagyunk biztosak, például hány tizedesjegy pontosságig vállalkoznánk $p$ becslésére. Ha például $n=6000$ ember közül $X=492$ beteget találtunk, akkor $p$ -nek az ötödik (vagyis a százezredekre vonatkozó) vagy annál későbbi tizedesjegyeiről teljesen megalapozatlan lenne bármit is állítani, viszont az első tizedesjegyről elég magabiztosan mondhatjuk, hogy 0, hiszen $p\geq 0{,}1$ esetén a betegek számának várható értéke legalább 600, és annak valószínűsége, hogy ettől legalább 108 az eltérés, nem lehet túl nagy. A binomiális eloszlás képlete alapján ezt pontosan ki is számíthatjuk: annak valószínűsége, hogy $p=0{,}1$ esetén pontosan 492 beteget találunk, $2\cdot 10^{-7}$ , nagyobb $p$ esetén még ennél is kisebb. Ezzel szemben például $p=0{,}08$ mellett a betegek számának várható értéke 480, és annak valószínűsége, hogy pontosan 492 beteget találunk, 1,6%. Vagyis a bekövetkezett esemény $p\geq 0{,}1$ esetén nagyságrendekkel kevésbé valószínű, mint a $492/6000=0{,}082$ -höz jóval közelebbi $p$ esetén. Ez erős érv amellett, hogy az első tizedesjegy 0. Ugyanakkor biztosat sosem állíthatunk egyik tizedesjegyről sem, hiszen tetszőleges 0 és $n$ közötti érték (a határokat is beleértve) előfordulhat bármely $0<p<1$ esetén. Célunk olyan állítások megfogalmazása, hogy például ha $n=6000$ ember közül $X=492$ volt beteg, akkor a betegek valódi $p$ aránya 7% és 9% közé esik, és ebben 95%-ban biztosak vagyunk. Ez a megfogalmazás így még nem pontos, nem mondtuk meg, hogy mit jelent nagy valószínűséggel biztosnak lenni valamiben. Ennek egy lehetséges értelmezéseként mutatjuk be a konfidenciaintervallum fogalmát, amely a példaként említett 492-es betegszámhoz tartozó olyan intervallum, amelyben a keresett $p$ érték adott, általunk választott valószínűséggel benne van. A cikkben ezt mutatjuk be először, alkalmazva a magyar COVID-19 járványhoz kapcsolódó 2020. májusi reprezentatív felmérésre, ahol $n=10474$ vizsgált ember közül $X=69$ olyat találtak, aki már átesett a betegségen [8]. Ezután rátérünk a maximum-likelihood módszer ismertetésére, amely magát a becslési módszert, vagyis a $p$ valószínűségnek az $X/n$ relatív gyakorisággal (a betegek arányával) való becslését támasztja alá. Ez az eljárás arra a kérdésre ad választ, hogy mely $p$ érték esetében a legvalószínűbb, hogy pont 492 beteget találunk a 6000 ember között. A binomiális eloszlás esetében kiderül, hogy éppen $p=492/6000$ esetén. Persze ezen kívül is számtalan természetes érvet lehet felhozni a relatív gyakorisággal való becslés mellett (például hogy torzítatlan [4], vagyis $X/n$ várható értéke megegyezik a becsülni kívánt $p$ -vel), de van ellenérv is: ha egyetlen beteget sem találunk, akkor a becslésünk mindig 0 lesz, holott egészen mást jelent $p$ -re nézve, ha $n=3$ , 10, 100, 1000, $10\,000$ vagy $n=100\,000$ embert tesztelve nem találunk egyetlen beteget sem. A relatív gyakoriság ezt a különbséget nem veszi észre. Többek között ezt küszöböli ki a Bayes-becslés módszere, amelyre most nem térünk ki, de amiből például $(X+5)/(n+10)$ alakú becslés kapható (megfelelő előzetes feltételezés mellett), amire már $X=0$ esetén is igaz, hogy minél nagyobb $n$ , annál kisebb a becslés. (A Bayes-becslésnek többek között Bolla és Krámli könyvében [4] lehet utánaolvasni.) Vagyis a relatív gyakoriság nem az egyetlen és nem minden szempontból a legjobb lehetőség, szólnak érvek mellette és ellene is. A cikkben egy mellette szóló módszert, a maximumlikelihood-becslést mutatjuk be, aminek az alkalmazási lehetőségei természetesen jóval szélesebbek, mint konkrétan a $p$ becslése a mi esetünkben [4,7].

Cikkünkben a valószínűségszámítás és az analízis alapvető eszközeinek (binomiális eloszlás, deriválás), illetve az első részben szerepelt néhány állításnak a felhasználásával ismertetjük az említett fogalmakat azok számára, akik ezekkel az egyetemi statisztika órákon is gyakran szereplő módszerekkel nem találkoztak, vagy szeretnék az ezzel kapcsolatos ismereteiket felidézni.

1. Konfidenciaintervallum a betegek arányára

Célunk tehát elsőként az, hogy az $X$ (a talált betegek száma) és az $n$ (a vizsgált emberek száma) ismeretében a $p$ -re olyan becslést adjunk, amelyből a kapott érték pontossága vagy bizonytalansága is kiderül. Ezt a következő módon szeretnénk megvalósítani:

$\bullet$ az elvégzett vizsgálatok és a talált betegek száma (vagyis $X$ és $n$ ) alapján mondunk határokat $p$ -re, például hogy 7% és 9% közé esik;

$\bullet$ megadjuk azt is, hogy mennyire vagyunk biztosak abban, hogy $p$ a megadott határok között lehet, és minél megbízhatóbb becslést szeretnénk;

$\bullet$ az intervallumot megpróbáljuk a lehető legrövidebbre választani, hogy minél informatívabb legyen az állításunk: az, hogy $p$ értéke 7% és 9% közé esik, sokkal többet mond, mint például az, hogy $p$ értéke 5% és 25% közé esik.

Vegyük észre, hogy a második és a harmadik szempont egymással szembe megy. Csak a második feltételt nagyon könnyű lenne teljesíteni: a $[0,1]$ intervallum egészen biztosan tartalmazza a betegek valódi arányát, és ha ezzel megelégednénk, még a tesztelés költségét is megtakaríthatnánk. Azonban épp ez az, amit a harmadik szemponttal kizárunk: minél rövidebb intervallumot szeretnénk, ami azonban még elég tág ahhoz, hogy nagy megbízhatósággal tartalmazza $p$ -t.

Kicsit másképpen fogalmazva próbálhatjuk pontosítani a célt: olyan intervallumot szeretnénk, ami nagy valószínűséggel, például 95% valószínűséggel tartalmazza $p$ -t. Azt azonban fontos tisztázni, hogy mit jelent itt a valószínűség: hiszen úgy gondolkoztunk, hogy a $p$ , vagyis a betegek valódi aránya ugyan számunkra ismeretlen, de nem véletlen paraméter. Az tehát nem tűnik jó értelmezésnek, hogy az intervallum határai rögzítettek, amibe egy véletlenül kisorsolt $p$ vagy beleesik, vagy sem. Azonban, ha például $n=6000$ vizsgált lakos közül $X=492$ beteg, akkor nyilvánvalóan egészen más intervallum lesz jó, mint ha például 4328 beteget találtunk volna. Így az általunk meghatározott intervallum határai függnek $X$ -től, a talált betegek számától, ez pedig a véletlen mintavételünktől függ. Ezért az intervallum maga lesz az, amit véletlenszerűen adunk meg – a feltétel pedig az, hogy minden -re teljesüljön, hogy ebbe a véletlen intervallumba essen, kellőképpen nagy valószínűséggel. Ezt nevezzük konfidenciaintervallumnak. Megjegyezzük, hogy a „minden $p$ -re teljesüljön” feltétel értelmezéséhez körültekintőnek kell lennünk. Ugyanis $p$ különböző értékeire maga a binomiális eloszlás is megváltozik, tehát az adott intervallumba kerülés valószínűsége is más lesz, amint alább hamarosan látni fogjuk. A konfidenciaintervallumot meghatározó nagy valószínűségnek egy szokásos választása $q=95\%$ , ami egy előre rögzített érték, és bármi is a betegek valódi aránya vagy az általunk megtalált betegek száma, az ismeretlen $p$ legalább ennyi valószínűséggel az általunk megadott határok közé esik. A $q$ értékét nevezik a konfidenciaintervallum megbízhatósági szintjének, ezt mindig előzetesen adjuk meg.

Most már tehát tudjuk, hogy milyen intervallumot szeretnénk, kérdés, hogy hogyan készítsük el. Bár nem minden esetben ez a legjobb választás (ahogy azt az $X=0$ példán láttuk), abból indulunk ki, hogy $p$ -t az $X/n$ relatív gyakorisággal becsüljük, és ez lesz a konfidenciaintervallum közepe. A nehezebb feladat az, hogy mi legyen a konfidenciaintervallum hossza. Ehhez olyan $a>0$ számot kell keresnünk, amelyre az $(X/n-a, X/n+a)$ intervallum legalább $q=95\%$ valószínűséggel tartalmazza $p$ -t (a megbízhatósági szintet a szokásos értéknek választva). Vagyis az kellene, hogy minden $0<p<1$ -re

$\displaystyle \mathbb{P}\left(\frac Xn -a\leq p \leq \frac Xn+a\right)\geq 95\%$

(1)

teljesüljön. A betegek valódi arányáról tehát nincs semmilyen előzetes feltételezésünk, olyan módszert keresünk, ami minden lehetséges $p$ -re ebből a szempontból megfelelően működik. Fontos hangsúlyoznunk, hogy $a$ értéke az $X$ -től, a talált betegek számától függni fog, $p$ értékét viszont nem használhatjuk fel a kiszámításához, hiszen éppen ezt akarjuk megbecsülni. A megbízhatósági szint, amit most szokásos módon $q=95\%$ -nak választottunk, előre adott érték, de ennek is van hatása $a$ -ra: minél nagyobb a $q$ , annál nagyobb lesz $a$ is – miközben persze arra is figyelünk, hogy $a$ a megadott feltételek mellett a lehető legkisebb legyen, hogy minél informatívabb legyen az állításunk.

1. ábra. Az $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ függvény és az alatta lévő területek

Ahhoz, hogy ezt az $a$ -t megtaláljuk, az (1) egyenlőtlenség bal oldalán álló kifejezést kellene kiszámítanunk. Cikkünk első részében ezt lényegében meg is tettük [3]. Ha ugyanis olyan átrendezést végzünk, hogy a feltétel az $X/n$ -nek a $p$ -től vett távolságára vonatkozzon, ehhez jutunk:

$\displaystyle \mathbb{P}\left(\frac Xn -a\leq p \leq \frac Xn+a\right)=\mathbb{... ...eq a \right)=\mathbb{P}\left(\left\vert\frac{X}{n}-p\right\vert\leq a\right).$

A cikk első részében pedig a de Moivre–Laplace-tételt az $X$ binomiális eloszlású valószínűségi változóra alkalmazva azt láttuk, hogy a fenti valószínűség közelíthető a standard normális eloszlásfüggvény, a $\Phi$ függvény segítségével. Pontosabban, az első rész (6) egyenletében az ott megadott 0,01 helyébe a most keresett $a$ -t írva:

$\displaystyle \mathbb{P}\left(\frac Xn -a\leq p \leq \frac Xn+a\right)=\mathbb{... ...\vert\leq a\right)\approx 2\Phi\left(\frac{a\sqrt n}{\sqrt{p(1-p)}}\right)-1.$

2. ábra. A standard normális eloszlásfüggvény, azaz $\Phi(t)=\int_{-\infty}^t {\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}e^{-x^2/2}\, dx$ és $\Phi^{-1}$

Itt a $\Phi(t)=\int_{-\infty}^t {\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}e^{-x^2/2}\, dx$ függvény egy $t$ valós számhoz az 1. ábrán a $t$ -től balra eső, függvény alatti területet rendelte hozzá (a teljes görbe alatti terület 1). Magát a $\Phi$ függvényt a 2. ábra bal oldalán láthatjuk. A közelítés azonban természetesen csak elég nagy mintaelemszám, pontosabban az $n$ és a $p$ megfelelő viszonya esetén érvényes, ezt az $np(1-p)\geq 10$ feltétellel szokták például kifejezni [10]. Ha viszont ez teljesül, akkor az (1) egyenlőtlenség feltétele alapján olyan $a$ számot keresünk, amelyre

$\displaystyle \mathbb{P}\left(\frac Xn -a\leq p \leq \frac Xn+a\right)\approx 2... ...\Leftrightarrow~ \Phi\left(\frac{a\sqrt n}{\sqrt{p(1-p)}}\right)\geq 0{,}975.$

Ennek megoldásához a 0,975-nek a $\Phi^{-1}$ inverz függvénynél vett értékét kell meghatároznunk. Azt a legkisebb $t$ számot keressük tehát, amire $\Phi(t)=\int_{-\infty}^t {\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}e^{-x^2/2}\, dx\geq 0{,}975$ , vagyis amitől balra legalább 0,975 terület esik az 1. ábrán. Mivel $1-0{,}021-0{,}001=0{,}978$ , ez a szám kettőnél kicsit kisebb kell, hogy legyen. Számítógéppel számolva $\Phi^{-1}(0{,}975)=1{,}96$ adódik, ezt a 2. ábra jobb oldali részéről is leolvashatjuk, ahol a $\Phi^{-1}$ inverz függvényt ábrázoltuk. Vagyis a keresett $a$ számra az alábbi feltételt kapjuk:

$\displaystyle \frac{a\sqrt n}{\sqrt{p(1-p)}}\geq \Phi^{-1}(0{,}975)=1{,}96~~\Leftrightarrow~~a\geq 1{,}96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}.$

Ezzel azonban nem vagyunk kész. Az, hogy egy egyenlőtlenséget kaptunk, holott csak egy szám kellene, nem jelent gondot, hiszen $a$ -t minél kisebbnek szeretnénk választani. A gond az, hogy a jobb oldalon álló kifejezésben nem csak $n$ , a vizsgált emberek száma szerepel, hanem $p$ is, ami a betegek valódi aránya. Ez viszont éppen a keresett, ismeretlen érték, amire a konfidenciaintervallumot adjuk. Ezért a becslésben ez nem szerepelhet, azt az általunk rendelkezésre álló mennyiségek alapján kell felépítenünk. Egy lehetséges megoldás a $p(1-p)\leq 1/4$ egyenlőtlenség alkalmazása, ami sajnos indokolatlanul hosszú intervallumot (túl nagy $a$ értéket) eredményezhet. Alternatívaként alkalmazhatjuk a már egyszer bevált stratégiát, nevezetesen azt, amikor a konfidenciaintervallum közepének a $p$ -re vonatkozó becslésünket, vagyis a betegek $\hat p=X/n$ relatív gyakoriságát választottuk.

Ezt alkalmazva tehát közelítőleg érvényes gondolatmenetünk van (amely precízzé tehető a statisztika megfelelő tételeinek segítségével) arra, hogy ha $n$ megkérdezett közül $X$ beteget találunk, akkor az alábbi intervallum 95%-os megbízhatósági szintű konfidenciaintervallum -re, vagyis az alább megadott véletlen határok legalább 95% valószínűséggel közrefogják -t, bármi is legyen annak értéke:

$\displaystyle \left(\frac Xn-1{,}96\frac{\sqrt{\hat p(1-\hat p)}}{\sqrt n},\quad \frac Xn+1{,}96\frac{\sqrt{\hat p(1-\hat p)}}{\sqrt n} \right).$

(2)

A korábban említett példában, ha $n=6000$ ember közül $X=492$ beteg, akkor tehát $\hat p=X/n=0{,}082$ , és a konfidenciaintervallum:

$\displaystyle \left(0{,}082-1{,}96\frac{\sqrt{0{,}082(1-0{,}082)}}{\sqrt {6000}... ...,}96\frac{\sqrt{0{,}082(1-0{,}082)}}{\sqrt{6000}} \right)=(0{,}075; 0{,}089).$

Tehát ebben az esetben azt mondhatjuk, hogy a betegek valódi aránya 7,5% és 8,9% közé esik, és ezt egy 95%-os megbízhatósági szintű konfidenciaintervallum alapján állíthatjuk. Ugyanerre az intervallumra az alábbi jelölést is használni fogjuk: $8{,}2\% \pm 0{,}7\%$ . Ez tehát nem azt jelenti, hogy a $p$ biztosan ebbe az intervallumba esik, ha például a valódi $p=0{,}5$ , akkor is előfordulhat, hogy úgy alakul a véletlen mintavételezés, hogy $X=492$ beteget találunk csak a várt 3000 helyett, és $p$ a legkevésbé sem esik bele az általunk megadott $8{,}2\% \pm 0{,}7\%$ intervallumba – de az ilyen típusú tévedések valószínűsége összesen sem több 5%-nál.

A fenti képlettel a H-UNCOVER 2020. május 1-16-ig végzett vizsgálata alapján azt mondhatjuk, hogy a SARS-CoV-2 vírussal korábban megfertőződött (aktívan beteg vagy már meggyógyult) emberek aránya Magyarországon $0{,}66\%\pm 0{,}15\%$ lehetett ebben az időszakban (a 14 éven felüli, nem intézményben lakó emberek között). Itt ugyanis $n=10474$ teszt alapján $X=69$ embernél mutatták ki, hogy átestek ezen a betegségen [8]. Ugyanakkor ne felejtsük el, hogy végig a legideálisabb esettel számoltunk, és azt sem vizsgáltuk, hogy a feltehetően kicsi $p$ miatt nem romlik-e el a közelítés (bár azt megállapíthatjuk, hogy ha $p=X/n$ -t helyettesítünk, akkor az $np(1-p)\geq 10$ feltétel teljesül), ezért az intervallum hosszát inkább csak alsó becslésnek tekinthetjük. Ugyanebben a vizsgálatban $X=3$ aktív beteget találtak az $n=10474$ vizsgált ember között. Ekkor azonban az $n p(1-p)$ érték a becsült $p$ -vel számolva 3-nál is kevesebb, a feltételünk egyáltalán nem teljesül, a módszerünk közelítésből adódó hibája annyira nagy, hogy jobb, ha nem alkalmazzuk a képletünket konfidenciaintervallum készítésére. Ebben a konkrét esetben közvetlenül a binomiális eloszlást használva (a korábbi számoláshoz hasonlóan) azonban észrevehetjük, hogy ha például $p\geq 0{,}1\%$ , akkor annak valószínűsége, hogy legfeljebb 3 beteget találunk ennyi vizsgált ember között, 0,0067. Vagyis azt mondhatjuk, hogy 1 ezreléknél nem lehetett lényegesen több az aktív betegek aránya (a relatív gyakoriság 0,28 ezrelék), de a nagyságrendről sokkal pontosabbat nem állíthatunk, a konfidenciaintervallumhoz pedig ennél alaposabb vizsgálatra lenne szükség.

2. Mitől függhet a konfidenciaintervallum hossza?

Most már tehát van egy képletünk a konfidenciaintervallumra, ezt vizsgáljuk meg részletesebben. Elsőként szögezzük le, hogy a becslések és közelítések miatt ennek a módszernek számos hátulütője lehet, hiszen nem adtunk meg pontosan, hogy mekkora a hiba a normális eloszlással való közelítésnél (erről szól a Berry–Esséen-tétel, [6]), és azt sem, hogy mekkorát hibázunk, amikor a valódi $p$ -t a becsült értékkel helyettesítettük az utolsó lépésben. Sőt, semmi nem zárja ki, hogy csak nagyon kevés, esetleg 0 beteget találunk, és ilyenkor a bal végpont negatív lesz, márpedig nem túl szerencsés egy költséges vizsgálat végén megállapítani, hogy a valószínűség –2% és 2% közé esik – az állítás egy részéhez ugyanis egyetlen mérésre sem lett volna szükség. Erre nem térünk ki, de a fentinél természetesen sokkal kifinomultabb módszerek is használhatók a konfidenciaintervallum építésére [1,9], amelyek ezeket a hátrányokat legalább részben kiküszöbölik. Ugyanakkor már a fenti képlet alapján is megfogalmazhatjuk a konfidenciaintervallumnak néhány olyan tulajdonságát, amelyek lényegében módszertől függetlenül érvényesek. Ehhez először tekintsük a táblázatot, amely néhány különböző $n$ és $X$ esetén ad 95%-os megbízhatósági szintű konfidenciaintervallumot (az intervallum helyett áttérünk a $\pm$ -os jelölésre, vagyis $X/n$ -t és az intervallum hosszának felét adjuk meg, amelyet korábban $a$ -val jelöltünk).

tesztek száma ()	betegek száma ()	konfidenciaintervallum

100	10	$10\%\pm 5{,}8\%$
100	30	$30\%\pm 9\%$
100	50	$50\%\pm 9{,}8\%$

1000	100	$10\%\pm 1{,}9\%$
1000	300	$30\%\pm 2{,}8\%$
1000	500	$50\%\pm 3{,}1\%$

10000	1000	$10\%\pm 0{,}6\%$
10000	3000	$30\%\pm 0{,}9\%$
10000	5000	$50\%\pm 1\%$

100000	10000	$10\%\pm 0{,}2\%$
100000	30000	$30\%\pm 0{,}3\%$
100000	50000	$50\%\pm 0{,}3\%$

10474	69	$0{,}66\%\pm 0{,}15\%$

Táblázat. 95%-os megbízhatósági szintű konfidenciaintervallum az elvégzett tesztek és a megtalált betegek számának függvényében. Az utolsó sor a H-UNCOVER 2020. május 1–16-i reprezentatív SARS-CoV-2 átfertőzöttségi felmérésének adata [8]

Ebből és a (2) képletből az alábbi következtetéseket vonhatjuk le.

Mintaelemszám. A betegek arányát rögzítve (a táblázatban például a vonalak alatti sorokat tekintve, az utolsó kivételével) a konfidenciaintervallum hossza közelítőleg fordítottan arányos a mintaelemszám gyökével. Tehát feleolyan hosszú intervallumhoz négyszerannyi, tizedolyan hosszú intervallumhoz százszorannyi teszt szükséges. Ez összhangban van a cikkünk első részében tett megállapításokkal, ott ezt úgy mondtuk, hogy a pontosságot növelve négyzetesen növekszik a szükséges tesztek száma.

Ritkaság. Minél közelebb van a betegek aránya a 0-hoz vagy az 1-hez (legalábbis a mintában), vagyis minél ritkább a betegség vagy épp a nem-betegség, annál rövidebb a konfidenciaintervallum. Azonban, ahogy szintén az első részben is láttuk, ha ezt a hosszt a $p$ -hez viszonyítjuk, vagyis azt kérdezzük, hogy $p$ -nek hányszorosa a hiba, akkor már egész más válasz adódik. A táblázatban a „legritkább eset” az utolsó sor, amely a H-UNCOVER felmérés adatait tartalmazza [8], ahol SARS-CoV-2 koronavírussal való, korábbi vagy aktív fertőzöttséget mutatták ki (tehát a már gyógyultak is számítanak, amíg a szervezetükben megtalálható a vírussal szembeni ellenanyag). Itt a konfidenciaintervallum $(0{,}51\%; 0{,}81\%)$ , vagyis az alsó és felső végpont között több mint másfélszeres szorzó van, ez meglehetősen nagy bizonytalanság például az $n=10000$ , $X=1000$ esethez hasonlítva, ahol a tesztek száma majdnem ugyanaz, de a betegségen átesettek aránya jóval nagyobb (ez persze csak elképzelt eset). Valójában pedig még hosszabb konfidenciaintervallumot kellene megadnunk, hiszen nem modelleztük a tesztek hibáját és más valós, torzításhoz vezető jelenségeket, és a közelítésünk hibáját is elhanyagoltuk (ezekről részletesebben az első rész [3] végén írtunk). A táblázathoz visszatérve, például $n=1000$ esetén $X=100$ -ra az intervallum hosszának és az $X/n$ -nek az aránya 38%, míg $X=300$ -ra csak 18,7%, vagyis a középső értékhez viszonyítva a második esetben rövidebbnek számít az intervallum. A képletből erre a hányadosra $\sqrt{(1-p)/p}$ jellegű válasz adódik, ami annál nagyobb, minél kisebb a $p$ . Azaz relatív értelemben a fertőzöttek kis száma esetén csak jóval hosszabb konfidenciaintervallumot tudunk adni. Persze ilyenkor a fenti módszer sem feltétlenül használható, elromlik a közelítés (valójában a táblázatunk vonalak alatti soraiban sem volt teljesen jogos a feltételezés, hogy használhatjuk a közelítést), de ez a megállapítás érvényes marad. Hasonlóképpen az is látható a képletből, hogy rögzített (páros) $n$ esetén a leghosszabb konfidenciaintervallumot akkor kapjuk, ha $X/n=1/2$ , azaz ugyanannyi fertőzött és egészséges embert találunk.

Megbízhatósági szint. Azt is kérdezhetjük, hogy hogyan függ a konfidenciaintervallum hossza a megbízhatósági szinttől, amit eddig $q=95\%$ -nak választottunk. Általánosan felírva ugyanezt a számolást, ha $q$ megbízhatósági szintű konfidenciaintervallumot szeretnénk:

$\displaystyle \left(\frac Xn-\Phi^{-1}\left(\frac{1+q}{2}\right)\frac{\sqrt{\ha... ...^{-1}\left(\frac{1+q}{2}\right)\frac{\sqrt{\hat p(1-\hat p)}}{\sqrt n} \right).$

(3)

Az világos, hogy minél nagyobb $q$ , vagyis minél nagyobb eséllyel kell tartalmaznia az intervallumnak a valódi értéket, annál nagyobb lesz a hossz. A képletből ez onnan látszik, hogy $\Phi$ monoton növő függvény, ezért az inverze is az (2. ábra). Kérdés azonban, hogy mennyivel kell hosszabb intervallumot mondanunk, ha mondjuk 5% helyett csak 1% valószínűségű tévedést engedünk meg. Itt néhány szokásos választással, ahogy a 2. ábráról is leolvashatjuk: $q=90\%$ esetén $\Phi^{-1}((1+q)/2)=1{,}65$ , ahogy már láttuk, $q=95\%$ esetén 1,96 adódik, $q=98\%$ esetén 2,32, és $q=99\%$ esetén 2,58. Ezeket megfigyelve megállapíthatjuk, hogy a konfidenciaintervallum hossza a szokásos értékek tartományában a megbízhatósági szinttől nem túl érzékenyen függ: az előbbi példában a tévedés valószínűségének ötödére csökkentése is csak nagyjából harmadával növeli az intervallum hosszát. Ugyanakkor egyrészt $q\rightarrow 1$ esetén a $\Phi^{-1}((1+q)/2)$ és így a konfidenciaintervallum hossza is végtelenhez tart, másrészt minél nagyobb megbízhatósági szintet írunk elő, annál nagyobb szerepe lehet a módszerből adódó hibáknak is, vagyis a konfidenciaintervallum hossza a képletből adódónál még nagyobb is lehet.

3. ábra. Konfidenciaintervallum két különböző mintaelemszám és megbízhatósági szint esetén

A 3. ábrán $n=100$ és $n=1000$ teszt esetén, $q=95\%$ és $q=99\%$ -os megbízhatósági szint mellett ábrázoltuk a konfidenciaintervallumot. A vízszintes tengelyen az $X/n$ szerepel, ez tehát a betegek aránya a vizsgált emberek között, amit megfigyelünk. Ha ezt, illetve $n$ -t és $q$ -t tudjuk, a két azonos színű pont adja meg a konfidenciaintervallum alsó, illetve felső határát. A konfidenciaintervallumok tehát a két-két azonos színű görbe között helyezkednek el. Itt is láthatjuk, hogy a 95% helyett 99%-os megbízhatósági szint nem jelent nagyságrendi különbséget a konfidenciaintervallum hosszában, azonban tízszer annyi tesztet elvégezve is csak nagyjából elharmadolni tudjuk a konfidenciaintervallumot. Azt is láthatjuk, hogy adott $n$ esetén a leghosszabb konfidenciaintervallum $X/n=1/2$ környékén adódik, a ritka, illetve nagyon gyakori betegség esetében pedig egyre rövidebb intervallumokat kapunk.

3. Becslés a valószínűségek alapján

A konfidenciaintervallum esetében is természetesnek vettük, hogy az $X/n$ , vagyis a betegek relatív gyakorisága kerül középre – cikkünk második felében egy olyan gyakran használt statisztikai becslési módszert mutatunk be, ami ennek alátámasztására is alkalmazható.

Példaképpen tegyük fel, hogy $n=6000$ ember közül $X=312$ beteget találtunk, vagyis nagyjából minden huszadik ember volt beteg. A kérdés az, hogy mennyi lehet a betegek valódi aránya, vagyis mennyi annak $p\in (0,1)$ valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen választott ember beteg. A lehetőségek száma végtelen, úgyhogy először megpróbálhatunk megelégedni azzal, hogy két lehetőségből megpróbáljuk eltalálni, hogy melyik lehetett a jó. Például tegyük fel, hogy a laboratóriumba ez a minta egy másikkal együtt érkezett, és azt is tudjuk, hogy ezek közül az egyik egy ritkábban lakott vidéki terület településeiből származik, ahol a fertőzöttek aránya egyéb vizsgálatok alapján $p_r=0{,}002$ , míg a másikat egy sűrűn lakott nagyváros lakosaitól gyűjtötték, ahol a fertőzöttek valódi aránya $p_s=0{,}06$ . Azonban elmulasztották a dobozokon feltüntetni, hogy melyik minta melyik, így el kellene dönteni, hogy a fenti $n=6000$ nagyságú minta a ritkán vagy a sűrűn lakott területről származik-e. Kizárni egyik lehetőséget sem tudjuk, hiszen mindkét esetben előfordulhat, hogy pontosan 312 beteget találunk. A betegek várható száma a ritkán lakott vidéken $n\cdot p_r=6000\cdot 0{,}002=12$ , és ebből azt is sejthetjük, hogy óriási balszerencse kellene ahhoz, hogy ennek majdnem harmincszorosa legyen a talált betegek száma. A sűrűn lakott városban $n\cdot p_s=6000\cdot 0{,}06=360$ a betegek számának várható értéke, ez alapján a 312 egyáltalán nem tűnik elképzelhetetlennek. Vagyis, bár a 312 beteg mindkét esetben előfordulhat, a sűrűn lakott városban ez jóval valószínűbb lehetőség, mint a ritkán lakott vidéken. Ezeket a valószínűségeket szerencsére ki is tudjuk számolni, az alapján, hogy az $X$ valószínűségi változó binomiális eloszlású [2,5,10].

Annak valószínűsége, hogy a ritkán lakott vidéken pontosan 312 beteget találunk 6000 ember között:

$\displaystyle \mathbb{P}_r(X=312)=\binom{6000}{312} 0{,}002^{312}\cdot 0{,}998^{5688}=7{,}28\cdot 10^{-317},$

vagyis valóban, lehetséges, hogy a ritkán lakott vidéken ennyi beteget találunk, de ennek valószínűsége kisebb, mint hogy 40 egymást követő héten telitalálatunk lesz a lottón (egy-egy héten $1/\binom{90}{5}=2{,}28\cdot 10^{-8}$ valószínűséggel lesz ötből öt találatunk).

Annak valószínűsége, hogy a sűrűn lakott városban pontosan 312 beteget találunk 6000 ember között:

$\displaystyle \mathbb{P}_s(X=312)=\binom{6000}{312} 0{,}06^{312}\cdot 0{,}94^{5688}=0{,}0007,$

ami szintén nem túlságosan nagy, de az előző lehetőségnél sok nagyságrenddel nagyobb (például több, mint a lottón a négy találat valószínűsége). Vagyis, az alapján, hogy az általunk megfigyelt történés mennyire valószínű a $p_r=0{,}002$ , illetve $p_s=0{,}06$ esetekben, arra következtethetünk, hogy ez az a minta a kettő közül, ami a sűrűn lakott nagyvárosból származik. A tévedésünk nincs kizárva, de a valószínűségek közötti nagyságrendi különbség nyomós érv az állításunk mellett.

Ez tehát akkor működött, amikor feltételeztük, hogy a betegség valószínűsége két lehetséges érték valamelyike. Ha nincs semmilyen előzetes információnk, akkor a $p$ értéke bármilyen 0 és 1 közötti szám lehet (a határokat nem beleértve), kizárni egyik lehetőséget sem tudjuk. Azonban a fent látott módszer akkor is működik, ha több lehetőségünk van. Annyit kell csak tennünk, hogy felírjuk, hogy ha adott $p$ mellett mennyi annak valószínűsége, hogy a 6000 vizsgálatból pontosan 312 jelez betegséget, majd megkeressük azt a $p$ -t, amire ez a legnagyobb – hiszen éppen ezt tettük az előbb is, a két lehetőségből a nagyobb valószínűséget adó $p$ -t választva. A kérdés tehát az, hogy milyen $0<p<1$ esetén lesz a legnagyobb az alábbi valószínűség:

$\displaystyle \mathbb{P}(X=312)=\binom{6000}{312}p^{312}(1-p)^{5688}.$

(4)

4. ábra. A $\mathbb{P}(X=312)$ valószínűség a betegek valódi arányának, $p$ -nek függvényében

Ezt a függvényt a 4. ábrán láthatjuk (bal oldalon a teljes $(0,1)$ intervallumon, a jobb oldalon belenagyítva a maximum környékére). Azt látjuk, hogy a korábbi $p_s=0{,}06$ nem a lehető legnagyobb valószínűséget adja, ennél kicsit kisebb $p$ -vel még nagyobb lesz a valószínűsége a 312 betegnek. A maximumhely (az a szám, ahol a függvény a legnagyobb értéket veszi fel) meghatározására az analízisből ismert deriválás módszerét használjuk – de csak egy előkészítő lépés után. Ugyanis az előző egyenlet jobb oldalán egy szorzat szerepel, és szorzatot deriválni ugyan nem lehetetlen, de bonyolultabb, mint összeget deriválni, ahol tagonként végezhető el ez a művelet. Ezért kéne egy függvény, ami szorzatból összeget csinál, és ami ráadásul lehetőleg monoton növő, hogy a maximumhelyet ne mozgassa el. Éppen ilyen függvény a logaritmus. Ezért azt a kérdést, hogy milyen $p$ -re lesz a $\mathbb{P}(X=312)$ valószínűség a lehető legnagyobb, a következőképpen fogalmazzuk át. Milyen $0<p<1$ számra lesz az alábbi kifejezés maximális:

$\displaystyle \log \mathbb{P}(X=312)=\log \binom{6000}{312} +312 \log p +5688 \log (1-p).$

(5)

5. ábra. A $\mathbb{P}(X=312)$ valószínűség logaritmusa a betegek valódi arányának, $p$ -nek függvényében

Itt tehát a (4) egyenlet jobb oldalának logaritmusát vettük. Ez a függvény az 5. ábrán látható, amit az előzővel összehasonlítva le is olvashatjuk, hogy bár a két függvény eltérő alakú és más értékeket vesz fel, a maximumhelyük ugyanaz – ami a logaritmus monoton növő tulajdonságából következik is. Tehát nincs más hátra, mint hogy deriválással megkeressük azt a $p$ számot, amelyre az (5) értéke maximális. A jobb oldalt deriválva (az első tag nem függ $p$ -től, ennek deriváltja 0, ezen kívül a $(\log x)'=1/x$ összefüggést és az összetett függvény deriválására vonatkozó szabályt használjuk):

$\displaystyle \left(\log \binom{6000}{312} +312 \log p +5688 \log (1-p)\right)'=\frac{312}{p}-\frac{5688}{1-p}.$

A maximumhelyet ott kell keresnünk, ahol a derivált, vagyis az érintő meredeksége nulla, ahogy ezt az 5. ábra is sugallja. Az egyenletet megoldva:

$\displaystyle \frac{312}{p}-\frac{5688}{1-p}=0 ~~\Leftrightarrow~~ 5688p=312(1-p) ~~\Leftrightarrow~~ 6000p=312 ~~\Leftrightarrow~~p=\frac{312}{6000}.$

Sajnos, ahogy analízisórán minden bizonnyal felhívták rá a figyelmünket, az, hogy a derivált 0, nem elég ahhoz, hogy szélsőértékhelyet találjunk. Azonban ebben az esetben azt mondhatjuk, hogy a második derivált, $-312/p^2-5688/(1-p)^2<0$ , és ebből következik, hogy itt lokális maximumhely van, az intervallum szélein pedig a határérték, ott nem lehet maximumhely, vagyis ez globális maximumhely is. Egy másik érvelés ugyanerre: az egyenlet helyett egyenlőtlenségeket írva az is látható, hogy a derivált pontosan akkor pozitív, ha $p<312/6000$ . Vagyis esetén a függvény szigorúan monoton növő, $p>312/6000$ esetén pedig szigorúan monoton csökkenő, ebből már következik, hogy ebben a pontban veszi fel a legnagyobb értéket.

A gondolatmenetet a következőképpen fejezhetjük be: deriválás segítségével megállapítottuk, hogy $\log \mathbb{P}(X=312)$ a $p=312/6000=5{,}2\%$ érték esetén a legnagyobb. Mivel a logaritmusfüggvény szigorúan monoton növő, azaz minél nagyobb $\log \mathbb{P}(X=312)$ , annál nagyobb $\mathbb{P}(X=312)$ is, ebből következik, hogy $p=312/6000$ lesz az érték, amelyre $\mathbb{P}(X=312)$ a legnagyobb (ez összhangban van az ábrával is). És, bár természetesen $p$ becslésekor más szempontokat is lehetne választani, most azt tűztük ki célnak, hogy azt a $p$ -t választjuk, amelyre a legnagyobb a valószínűsége annak az esetnek, amit megfigyeltünk. Tehát $p$ becslése $312/6000=5{,}2\%$ lesz a fent vázolt módszer alapján, amelyet maximumlikelihood-módszernek neveznek. A fenti érvelésben a számokat tetszőlegesen választhatjuk, vagyis azt láttuk be, hogy ha vizsgált ember közül beteget találtunk, akkor a betegség valódi gyakoriságának értékére a maximumlikelihood-módszerrel adott becslés

$\displaystyle \hat p=\frac{X}{n},$

azaz a betegek aránya a vizsgált mintában. Ezzel a (3) képlet olyan értelemben megerősítést nyert, hogy ez alapján a módszer alapján jogos az ismeretlen $p$ helyébe $X/n$ -t helyettesíteni a konfidenciaintervallum építésekor. Illetve, mivel a H-UNCOVER vizsgálatban $n=10474$ vizsgált ember közül $X=69$ teszt lett pozitív, a 2020 májusáig COVID-19 fertőzésen átesett magyar állampolgárok arányát az $X/n=0{,}66\%$ értékkel becsülhetjük az előzőek alapján [8].

A maximumlikelihood-módszer más esetekben is használható [4,7]. Általában van egy ismeretlen mennyiség (paraméter), ez volt esetünkben $p$ , a betegek valódi aránya. Elvégzünk valamilyen kísérletet, ez alapján becsüljük az ismeretlen értéket. Ha ezt úgy tesszük, hogy azt az értéket választjuk, amely esetén annak valószínűsége, hogy az általunk a kísérlet során megfigyelt esemény következik be, a lehető legnagyobb legyen, akkor a maximumlikelihood-módszert alkalmaztuk. Nem minden esetben, de az is gyakori, hogy ilyenkor a valószínűség logaritmusának maximumhelyét keressük meg deriválás segítségével. Azonban, ahogy a legtöbb statisztikai módszer, a maximumlikelihood-becslés sem minden esetben működik, például nincs mindig egyértelmű maximumhely, és egyéb hátrányai is lehetnek, például a várható értéke eltérhet a becsülni kívánt értéktől (vagyis torzíthat), vagy a példában $X=0$ -ra kevésbé jól működik. Ugyanakkor megfelelő feltételek mellett (és ezek a fenti példában is teljesülnek) a mintaelemszámmal végtelenhez tartva már jó tulajdonságokkal rendelkezik, a várható értéke tart a valódi paraméterhez, és a szórása is a lehető legkisebb értékhez, vagyis a bizonytalanságot minimalizálja. Ezzel együtt, bár ezekre nem térünk ki, statisztikai feladatokban érdemes több módszert is megvizsgálni (például momentummódszer, Bayes-becslés [4,7]) és azt választani, amelyikkel az adott problémát a legjobban meg tudjuk oldani.

4. Összefoglalás

Kétrészes cikkünkben azt vizsgáltuk, hogy milyen valószínűségszámítási és statisztikai módszerek alkalmazhatók, ha egy betegség gyakoriságát véletlenszerű teszteléssel akarjuk megbecsülni. Láttuk, hogy az, hogy a betegek valódi arányához képest hány százalékot tévedhetünk felfelé vagy lefelé, nagyobb hatással lehet az elvégzett tesztek számára, mint az, ha a helyes döntés valószínűségére adunk meg egy szigorúbb korlátot: kétszer nagyobb pontossághoz vagy feleolyan hosszú konfidenciaintervallumhoz négyszer annyi teszt kellett, viszont 95% helyett 99%-os megbízhatóságot előírva nem nőtt ennyire a szükséges vizsgálatok száma. Azt is láttuk, hogy ha az abszolút hiba helyett a relatív hibát akarjuk alacsonyan tartani, akkor ritka, 1% vagy 0,1% körüli gyakoriság esetén is jelentősen nagyobb mintaelemszámmal kell számolnunk. Az alkalmazott módszer a binomiális eloszlásnak a normális eloszlással való közelítése volt a de Moivre–Laplace-tétel, vagyis a centrális határeloszlástétel egy speciális esete alapján, itt szintén arra kellett figyelni, hogy ha a betegség túlságosan ritka, akkor vagy más módszert kell keresnünk, vagy ismét csak nagy mintaelemszámot választani – ez azonban valamennyire természetes is, 0,1% nagyságrendű valószínűség esetén 10 vagy 100 teszt semmilyen módszerrel nem lenne megfelelő egy pontos becsléshez. Emellett arra is kitértünk, hogy a valós alkalmazásokban milyen nehezítő körülmények lépnek fel (a tesztek hibája, az egyenletes mintavételezés nehézségei), amelynek következtében a számolások egy ideális eset vizsgálatának, a kapott eredmények pedig a szükséges tesztek számának alsó becslésének tekinthetők.

Irodalomjegyzék

[1] Douglas Altman, David Machin, Trevor Bryant, Martin Gardner, Statistics with Confidence: Confidence Intervals and Statistical Guidelines. Second Edition, John Wiley & Sons, New York, 2000.

[2] Arató Miklós, Prokaj Vilmos, Zempléni András, Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal, 2013. https://ttk.elte.hu/dstore/document/901/zempleni.pdf

[3] Backhausz Ágnes, Simon L. Péter, Mennyit teszteljünk? 1. rész, Érintő, 2020. június. https://ematlap.hu/index.php?option=com_content&view=article&id=956:mennyit-teszteljunk-take-1&catid=234&Itemid=827

[4] Bolla Marianna, Krámli András, Statisztikai következtetések elmélete. Második kiadás, Typotex, 2012.

[5] Csiszár Villő, Valószínűségszámítás 1. http://csvillo.web.elte.hu/mtval/jegyzet.pdf

[6] William Feller, An introduction to probability theory and its applications. Vol. I. Third edition, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1968.

[7] David Freedman, Robert Pisani, Roger Purves, Statistics. Fourth edition, W. W. Norton & Company, New York, 2007.

[8] Béla Merkely, Attila J. Szabó, Annamária Kosztin et al., Novel coronavirus epidemic in the Hungarian population, a cross-sectional nationwide survey to support the exit policy in Hungary. GeroScience 42, 1063–1074 (2020). https://link.springer.com/article/10.1007/s11357-020-00226-9

[9] R. G. Newcombe, Confidence intervals for proportions and related measures of effect size. Chapman & Hall/CRC Biostatistics Series, CRC Press, Boca Raton, FL, 2013.

[10] Sheldon Ross, A first course in probability. Second edition, Macmillan Co., New York, 1984.

Backhausz Ágnes

Eötvös Loránd Tudományegyetem, Matematikai Intézet

Simon L. Péter

Eötvös Loránd Tudományegyetem, Matematikai Intézet

ELKH-ELTE Numerikus Analízis és Nagy Hálózatok Kutatócsoport